非线性微分方程的线性化方法

上一节在推导元件或系统的微分方程时，假定它们都是线性的，所得到的微分方程是线性的微分方程。但是，在工程实际问题中，纯粹的线性系统几乎是不存在的，因为组成系统的元件都存在程度不同的非线性特性。在控制理论中，按特性的非线性程度不同把它们分成两类。第一类是非线性特性在工作点附近不存在饱和、继电、死区、滞环等，我们把这种非线性特性叫做“非本质非线性”特性；第二类是非线性特性在工作点附近存在饱和、继电、死区、滞环等，这种非线性特性叫做“本质非线性”特性，如图2-8所示。如果系统所含非线性特性是本质非线性特性，这种系统要用非线性系统的理论来研究。如果系统所含的非线性特性是“非本质”的，把它线性化后，仍可用线性系统理论进行研究。

图2-8　非线性特性曲线

（a）饱和；（b）死区；（c）滞环；（d）继电

所谓线性化就是在工作点附近的小范围内，把非线性特性用线性特性来代替。线性化的基本条件是非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。这一点对绝大多数控制系统来说是能够满足的，因为实际系统大多工作在小偏差的情况下。

非线性系统线性化的步骤如下：

（1）首先确定系统输入一输出之间的函数关系y（x）。

（2）在工作点x0 邻域将y（x）展开为泰勒级数，即

（3）当（x－x0）很小时，可略去二阶以上高次项得到

（4）（x－x0）很小时，有y（x）－y（x0）很小，写出增量式为

Δx＝x－x0

Δy＝y（x）－y（x0）

令

即在工作点x0 邻域，将曲线斜率视为常数。写为增量方程

（5）将增量以普通变量来表示，就得到了线性化方程

【例2-7】 三相全控桥整流调速装置如图2-9所示，输入量为控制角α，输出量为整流电压UD，试建立其线性化模型。

图2-9　整流调速装置图

解：由电子技术可知，整流电压UD 与控制角α之间的关系为

式中 U0——理想空载整流电压值，V。

特性曲线如图2-10所示，很显然是非线性关系。设调速系统的工作点为（α0，UD0）

图2-10　晶闸管特性曲线

UD0＝U0coSα0

写出增量式为

UD－UD0＝k（α－α0）

由于

线性化增量方程为

ΔUD＝kΔα(www.xing528.com)

以普通变量来表示增量，写成线性化方程为

【例2-8】 已知单摆系统的运动如图2-11所示。

图2-11　单摆运动示意图

1）写出运动方程；

2）求取线性化方程。

解：1）列写运动方程。摆球质量为m，摆长为l；设摆角为θ，则运动弧长为lθ；摆球运动时的媒质（空气或者某种液体）阻力为h，由牛顿定律可以写出

媒质阻力h 的大小与运动速度成正比

式中 α——媒质的阻力系数；——运动微弧长的速度，负号表示媒质阻力总是与运动速度方向相反。

将式（2-38）代入式（2-37），得到单摆系统的运动方程为

这是一个二阶微分方程，但是方程中的零阶导数项是非线性项，因此式（2-39）所示的方程是一个二阶非线性微分方程。由于该方程是一个齐次方程，即作用力为零，当给定初始条件θ（t0）和，则该系统的运动就惟一确定。

2）求取单摆系统的线性化方程。方程（2-39）中的零阶导数项是一个正弦性质的非线性项，即

在θ0＝0 邻域其泰勒级数展开式为

忽略二阶以上高阶项，其线性关系为

则其线性化系数k 为1。进而

代入方程（2-39），得到线性化方程为

其线性化关系如图2-12所示，由图可见，在原点附近，用φ＝θ来代替φ＝Sinθ，其近似程度是令人满意的。

图2-12　单摆系统线性化关系示意图

在不同的工作点邻域，可以得到不同的线性化方程。

例如，在θ＝π邻域的切线方程为φ＝－θ＋π，相应的线性化系数k 为－1，则在该点处，线性化方程为

在将一个非线性系统作线性化时，有以下几点需要注意：

（1）本质非线性系统不可以进行线性化正是因为这类非线性系统的不连续性、不可导性使得其泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不成立，因此对于本质非线性系统另外采用第7章所叙述的方法来进行分析。

（2）对于多变量情况时，其线性化方法相似。如双变量时，函数关系可以表示为ƒ（x，y），如果满足在工作点邻域的连续、可导条件，线性化原理与前面所述相同，在此不予赘述，请参阅相关书籍。

（3）工作点不同时，其线性化系数也是不同的。因此其线性化方程也是不同的。这一点表现在非线性函数关系上就是在不同的工作点，可以获得斜率不同的切线，所以线性化系数是各异的。因此对非线性系统作线性化时，一定要先确定其工作点，这样求得的线性化方程才是正确的。

（4）一个非线性系统在工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是在小范围的。否则，误差将会很大。因为线性化方程是增量方程，以变量来表示，所以当增量范围过大时，不满足线性化条件。