如何建立控制系统的微分方程

了解了典型元件的微分方程，就可以求整个控制系统的微分方程了。首先，找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的联结方式和各自的工作原理，分别列写出各典型元件的微分方程，组成方程组，消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式即为控制系统的微分方程。

【例2-6】 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图2-6所示，机电系统原理如图2-7所示。试写出其运动方程。

图2-6　电动机定、转子电磁关系示意图

图2-7　直流电动机系统

解：直流电动机的运动是一复合系统的运动。它由两个子系统构成，一个是电网络系统，由电网络得到电能，产生电磁转矩。另一个是机械运动系统，输出机械能带动负载转动。在图2-6的电机结构示意图中，设主磁通Φ为恒定磁通，也就是说在励磁电压uf 为常数时，产生常数值的励磁电流If，从而主磁通Φ 也为常数。忽略旋转粘滞系数ƒa，则可以写出各平衡方程如下。（有关直流电动机的详细内容，可以参阅电力拖动有关书籍）

1.电网络平衡方程

式中 Ua——电动机的电枢电压，V；

Ia——电动机的电枢电流，A；

Ra——电枢绕组的电阻，Ω；

La——电枢绕组的电感，H；

Ea——电枢绕组的感应电动势，V。

2.电动势平衡方程

式中 ω——电枢旋转角速度，rad/S；

Ke——电动势常数，由电动机的结构参数确定，V·S/rad。

3.机械平衡方程(www.xing528.com)

式中 Ja——电动机转子的转动惯量，N·m·S2/rad；

Ma——电动机的电磁转矩，N·m；

ML——折合阻力矩，N·m。

4.转矩平衡方程

式中 Cm——电磁转矩常数，由电动机的结构参数确定，N·m/A。

将上述四项方程联立，因为空载下的阻力力矩很小，略去ML，得方程组如下

消去中间变量Ia、Ea、Ma，得到输入为电枢电压Ua，输出为转轴角速度ω的二阶微分方程

这是一个二阶线性微分方程。因为电枢绕组的电感一般都很小，如果略去电枢绕组的电感La，则可以得到一阶线性微分方程

由上可见，线性系统微分方程的一般形式是高阶微分方程，即

式中 c（t）——系统输出量；

r（t）——系统输入量；

ai，bj——常量（i＝0，1，2，…，n；j＝0，1，2，…，m）。