典型元件系统微分方程的建立方法

1.电学系统

电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。

【例2-1】 RLC无源网络如图2-1所示，图中R、L、C 分别为电阻（Ω）、电感（H）、电容（F）；建立输入电压ur（V）和输出电压uc（V）之间的微分方程。

图2-1　RLC无源网络

解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得

消去中间变量i（t），则

令LC＝T2，RC＝2ζT 则式（2-2）又可以写成如下形式

式中 T——时间常数，S；

ζ——阻尼系数，无量纲。

式（2-3）就是所求得RLC网络的微分方程。

2.机械平移运动系统

古典力学系统的运动规律是由牛顿定律来制约的。在求取力学系统的运动方程时，要分析是哪一种运动的平衡，如平移运动、旋转运动、动量平衡等。在分析当中，特别要注意物理单位之间的关系和换算，找到平衡关系，列出平衡方程式。

【例2-2】 设弹簧一质量—阻尼器系统如图2-2所示，试列出以F（t）为输入，以质量单元的位移x（t）为输出的运动方程。

图2-2　弹簧—质量阻尼系统

解：由加速度定律

和力为

∑F＝Fk＋Ff＋F（t）

其中弹性阻力

Fk＝－kx

粘滞阻力

带入方程有

整理

这是一种机械平移运动的运动方程，它是一个二阶微分方程。

3.机械旋转系统

【例2-3】 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

图2-3　机械旋转系统

解：由角加速度方程

式中 J——转动惯量；

ω——旋转角速度；

∑M——和力矩。

得

式中 Mf——作用力矩；

－ƒω——阻尼力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。整理得

方程的输入变量是作用力矩Mf，输出变量是旋转角速度ω，则方程是变量关系为Mf－ω的一阶微分方程。如果以转角θ为输出变量，因为

代入方程得

式（2-6）即为以转角θ为输出变量的二阶微分方程。

4.齿轮系统

【例2-4】 试列写图2-4所示齿轮系统的运动方程。图中齿轮1 和齿轮2 的转速、齿轮数和半径分别用ω1、Z1、r1和ω2、Z2、r2 表示，其粘性摩擦系数及转动惯量分别是ƒ1、J1 和ƒ2、J2；齿轮1 和齿轮2 的原动转矩及负载转矩分别是Mm、M1 和M2、Mc。(www.xing528.com)

图2-4　齿轮系统

解：控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递，以便实现减速和增大力矩的目的。在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同，因此有关系如下

又因为齿数与半径成正比，即

根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮1 和齿轮2 的运动方程为

由上述方程消去ω2、M1、M2，得

令

则齿轮系的微分方程为

式中 J、ƒ及M′c——折合到齿轮1 上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数及等效负载转矩。

显然，折算的等效值与齿轮系的速度比有关，速度比ω1/ω2 越大，Z1/Z2 越小，折算的等效值越小。如果齿轮系的速度比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑。

5.电枢控制的他激直流电动机

【例2-5】 电枢控制的他激直流电动机如图2-5所示，建立输入电压ua（t）（V）和输出转角θm（t）之间的动态关系式。

图2-5　电枢控制的他激直流电动机

解：电枢控制的他激直流电动机，激磁电流if 保持不变，仅改变加在电枢两端的电压ua（t）来控制电机的运动方式。根据电动机的工作原理可列出电枢电路方程如下

式中 ua（t）——输入电压信号，V；

ia（t）——电枢电流，A；

Ra——电枢电阻，Ω；

La——电枢电感，H；

Eb——电动机的反电势，V；

Kb——反电势系数，V/（rad·S－1）；

θm（t）——电动机转角，rad。

电磁转矩方程

式中 Mm（t）——电磁转矩，N·m；

Cm——力矩系数，N·m/A。

直流电动机转矩平衡方程

式中 Jm——电枢转动惯量，N·m·S2/rad；

ƒm——电动机轴上的粘性摩擦系数，N·m/（rad·S－1）；

ML——负载力矩，N·m。

将式（2-17）和式（2-18）代入式（2-16）中，消除中间变量ia（t）、Eb 和Mm，可得

若考虑到直流电动机中La 较小，可以忽略不计，式（2-19）可以写成

并设ML＝0，则

式中 Tm——电动机时间常数，S；

Km——电动机传递系数，rad/（S·V）。

由式（2-21）可见，电枢控制他激直流电动机的动态方程是一个二阶线性常微分方程。如果以转速ω（rad·S－1）为输出，则为一阶线性常微分方程，即

综上所述，列写元件的微分方程的步骤可归纳如下：

（1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；

（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律等，列写相应的微分方程；

（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即得元件时域的数学模型。

一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的一端，与输出量有关的项写在方程的另一端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。