快速傅里叶变换简介

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）[9]是一种非常通用的波形分析方法。

角频率为ω的周期函数可用正弦函数级数表示：

式中，傅里叶系数为

这种情况下，角频率为ω的部分叫做基波，角频率为nω（n>1）的部分叫做高次谐波。在频域中绘出所有谐波的幅值，可以得到各峰值的频谱。其中的a₀/2是DC分量。

（1）中心对称周期函数

当一个周期函数为中心对称时，它的所有含余弦函数的部分消失，傅里叶变换公式变为

式中

这类函数一般被称作奇函数。这种情况下，角频率ω的项为基波，角频率为nω（n>1）的各项为高次谐波。在频域中绘出各次谐波的幅值，可以得到各峰值的频谱。奇函数的DC分量为零。

（2）轴（镜像）对称周期函数

当周期函数为轴对称周期函数时，所有含正弦函数的项消失，傅里叶变换公式为

式中，a₀/2是DC分量。

这类函数一般被称为偶函数。这种情况下，角频率为ω的项为基波，角频率为nω（n>1）的各项为高次谐波。在频域中绘出各次谐波的幅值，可以得到各峰值的频谱。在偶函数中，DC分量一般不为零。

（3）非周期函数

时域中周期函数的频谱在频域中是离散函数。如果函数是时域中的非周期函数，则可用傅里叶积分来表示，其频谱是频域中的连续函数。

（4）可用公式及数据

下面是一些可用于FFT的三角函数公式：

下面是某些常用特殊角度的相关函数值：

（5）FFT应用举例

例4.1：对于图4-8的奇方波函数曲线，计算FFT、7次及以下谐波的HF、THD和WTHD。

解：函数f（t）为

它的傅里叶系数为

即

最终得到

它的基波幅值为4/π，考虑最高到7次的谐波，即n=3，5，7，则HF为

；H；

THD为

图4-8 例4.1的奇方波波形图

图4-9 例4.2的偶方波波形图

WTHD为

例4.2：偶方波函数曲线如图4-9所示，求出FFT、7次及以下谐波的HF、THD和WTHD。

解：函数f（t）为

它的傅里叶系数为

a₀=0(https://www.xing528.com)

即

n=1，3，5，…，∞ （4-66）

sinnπ/2的作用是确定正负号，最终得到

n=1，3，5，…，∞（4-67）

基波幅值为4/π，考虑最高到7次的谐波，即n=3，5，7，则HF为

THD为

WTHD为

例4.3：图4-10是一个脉冲宽度为x的奇脉冲波函数曲线。求出FFT、最高到7次谐波的HF、THD和WTHD。

解：函数f（t）在周期-π到+π之间为

图4-10 例4.3的奇脉冲波形图

它的傅里叶系数为

即

n=1，3，5，…，∞ （4-71）

最终可得到

n=1，3，5，…，∞ （4-72）

基波幅值为（4/π）sin（x/2）。考虑最高到7次谐波，即n=3，5，7，则HF为

HF的数值均应为绝对值。

如果x=π，则THD为

WTHD为

例4.4：图4-11是一个五级奇函数波。计算FFT、最高到7次谐波的HF、THD和WTHD。

解：函数f（t）在周期-π到+π之间为

图4-11 例4.4的五级奇函数波形图

它的傅里叶系数为

即

n=1，3，5，…，∞（4-76）

最终可得到

n=1，3，5，…，∞ （4-77）

基波幅值为。考虑最高到7次谐波，即n=3，5，7，则HF为

HF的数值均应为绝对值。

THD为

WTHD为