傅里叶变换的基本知识和原理

用户常常根据需要选择图像是工作在空域还是频域，并在必要时在不同域之间相互转换，傅里叶变换就提供了一种将图像从空域变换到频域的手段，并且由于使用傅里叶变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换在不丢失任何信息的前提下进行重建，因此它可以较为完美地使图像从频域转换回空域。

时间域也称时域，指从时间的范畴来研究振动，其横坐标是时间，纵坐标是振幅。在时域内，振动的振幅随时间作连续变化的图形称为波形，若在满足采样定理的前提下，取合适的采样间隔，将波形在一定时间间隔上采样，所取得的振幅值就可以以一种离散的形式描述振动的波形。频域指从频率角度出发来分析函数，和时域相对存在。在频域中，纵坐标也是振幅，但与时域相区分的是，频域中横坐标变为频率，而非时间。而傅里叶变换就是在以“时间”为自变量的“信号”和以“频率”为自变量的“频谱”函数之间的某种变换关系。

举一个易于理解的例子来简单说明时域与频域:我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变，这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。我们想当然地认为，世间万物都在随着时间不停地改变，并且永远不会静止下来，但如果用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就称为频域。例如，我们认为音乐是一个随着时间变化的振动，但如果站在频域的角度来讲，音乐就是一个随着频率变化的振动，因为在频域是没有时间的概念的，因此从频域的角度来看，音乐是静止的。由此可得，当我们站在时域的角度观察频域的世界时，看到的当然就会是一个静止的频域世界了。将这种神奇的域空间关系应用于图像处理领域，就能完成一些在空域难以完成的工作。

图4－3中第一幅图是1个正弦波，第二幅图是2个正弦波的叠加，第三幅图是7个正弦波的叠加，第四幅图是13个正弦波的叠加，随着叠加的递增，正弦波中原本缓慢上升下降的曲线变得陡峭，但众多较为陡峭的曲线的集合使得原本的正弦波变得趋于水平线，因此一个矩形就这么叠加而成了。但是，要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90°角的矩形波呢?答案是无穷多个。因为正弦波的个数可以有无数个，而这无数个正弦波的振幅、频率(周期)又各不相同，因此，不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都可以由正弦波用此方法叠加起来，即任何函数的波形都可以用正弦波的叠加来构成。

图4－3　不同个数的正弦波叠加图

换个角度看正弦波累加成矩形波的过程，如图4－4所示，图中最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形，而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量，这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，且每一个波的振幅都是不同的。每两个正弦波之间有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波，即为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。换句话说，通过傅里叶分解，可以将原始函数f(x)展开为一系列不同频率的正弦、余弦函数的加权和。

图4－4　将原始函数分解为正弦、余弦函数的加权和

如图4－5所示，通过时域到频域的变换，我们可以得到一个从侧面看的频谱，很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域则很容易实现，这就是需要傅里叶变换的地方，尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松地做到。

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图4－5　频域图与频谱

(a)频域图；(b)频谱

基础的正弦波A sin(wt＋θ)中，振幅、频率、相位缺一不可，因为频谱只代表每一个对应正弦波的振幅，而没有提到相位，即频谱中并没有包含时域中全部的信息，而相位决定了正弦波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱(振幅谱)是不够的，我们还需要一个相位谱。鉴于正弦波是周期的，在正弦波上取点来标记正弦波的位置，并将其投影到下平面，投影至下平面的点即可表示波峰所处的位置离频率轴的距离，不过，这个值并不是相位值，在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了图4－6(b)最下面的相位谱。

图4－6　相位相关图示

(a)正弦波图解；(b)相频特性曲线

时域图像、频域图像、相位谱在一张图中如图4－7表示。

图4－7　时域图像、频率图像、相位谱联合图

傅里叶原理表明，任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、短时傅里叶变换等，在数字图像处理中使用较多的是二维离散傅里叶变换。