算术和逻辑运算：让你愉悦的数学探索

3.1.2.1　算术运算

算术运算是指对两个像素(p和q)间的算术运算，即两幅图像进行点对点的加、减、乘、除计算。但是必须要注意，进行图像间的算术运算操作时，必须要保证两幅图像的大小、数据类型和通道数目相同。

加法计算为

减法计算为

乘法计算为

除法计算为

其中，g(x，y)、f(x，y)、h(x，y)表示的都是图像像素点(x，y)位置的像素值。

1)加法计算的主要应用举例

(1)去除叠加性噪声。

对于原图像f(x，y)，有一个噪声图像集{gi(x，y)}i＝1，2，…，N，其中，

假设噪声h(x，y)均值为0，且互不相关，则N个图像的均值定义为

期望值E(g(x，y))＝f(x，y)，上述图像均值将降低噪声的影响。下面以星系图为例，说明加法计算可去除叠加性噪声，如图3－14所示。

图3－14　去除星系图中的叠加性噪声

由图3－14可知，噪声图像的数目越多，使用加法计算去除叠加性噪声的效果越好。

(2)生成图像叠加效果。

对于两个图像f(x，y)和h(x，y)的均值有

推广这个公式为

α＋β＝1，我们可以得到各种图像合成的效果，也可以用于两张图片的衔接。

由图3－15可知，加法计算可实现两幅图像的叠加效果。

图3－15　加法计算生成图像叠加效果图(附彩插)

(a)原始图像1；(b)原始图像2；(c)叠加图像

2)减法计算的主要应用举例

(1)去除不需要的叠加性图案(混合图像分离)。

假设背景图像b(x，y)，前景背景混合图像f(x，y)，则有

式中:g(x，y)——去除了背景的图像。

用图3－16(b)减去图3－16(c)，即用混合图像减去背景图像，即可得到前景图像3－16(a)。

(2)检测同一场景两幅图像之间的变化。

假设时间1的图像为T1(x，y)，时间2的图像为T2(x，y)，则有

用图3－17(b)减去图3－17(c)，即可得到两幅图的差分图，即图3－17(a)。

图3－16　减法计算实现图像分离效果图

(a)前景图像；(b)前景背景混合图像；(c)背景图像

图3－17　检测同一场景两幅图像之间的变化

(a)减法计算差分图；(b)时间1的图像；(c)时间2的图像

3)乘法计算的主要应用举例

图像的局部显示是用二值蒙板图像与原图像做乘法，即将一幅图像与二值图像相乘，做掩模操作，可以用来遮掉图像的一部分。(www.xing528.com)

由图3－18可知，经过乘法计算后，图像中感兴趣的图像区域突出显示。

图3－18　乘法计算效果图(附彩插)

(a)乘法计算；(b)二值蒙板图像；(c)原始图像

4)除法计算的主要应用举例

校正由于照明或传感器的非均匀性造成的图像灰度阴影。

由图3－19可知，经过除法计算后，原始图像中的灰度阴影被消除，图像变得清晰。

图3－19　除法计算效果图

(a)原始图像；(b)除法计算后的图像

3.1.2.2　逻辑运算

逻辑运算是对二值变量进行的运算，所谓二值变量是指只有0、1两个值的变量。对整幅图像的逻辑运算是逐像素进行的，即两幅图像进行点对点的与、或、异或、非运算。

与运算为

或运算为

异或运算为

非运算为

1)与运算的主要应用举例。

(1)与运算求两个子图像的相交子图，如图3－20所示。

图3－20　与运算求两个子图像的相交子图

(2)模板运算:提取感兴趣的子图像，如图3－21所示。

图3－21　与运算提取感兴趣的子图像

(a)原始图像；(b)模板图像；(c)感兴趣的子图像

2)或运算的主要应用举例

(1)或运算合并子图像，如图3－22所示。

图3－22　或运算合并子图像

(2)模板运算:提取感兴趣的子图像，如图3－23所示。

图3－23　或运算提取感兴趣的子图像

(a)原始图像；(b)模板图像；(c)感兴趣的子图像

3)异或运算的主要应用举例

异或运算获得相交子图像，如图3－24所示。

图3－24　异或运算获得相交子图像

4)非运算的主要应用举例

(1)非运算获得一个阴图像，如图3－25所示。

图3－25　非运算获得一个阴图像(附彩插)

(a)原始图像；(b)阴图像

(2)非运算获得一个子图像的补图像，如图3－26所示。

图3－26　非运算获得一个子图像的补图像