多项式拟合优化技巧

事实表明，设备的颜色值与对应的颜色色度值之间为平缓变化的关系。据此，多项式拟合法即假定输入、输出颜色数值间满足某种多项式函数关系，则可以利用已知数值得到多项式关系系数，从而确定出颜色关系。

例如，对于RGB硬拷贝输出设备，系统由设备颜色值RGB到CIE色度颜色值Pi（i=1，2，3，对应CIELAB或CIEXYZ）的情况，RGB为输入值，Pi为输出值，则可设输出值与输入值之间有多项式的数值关系。若假定多项式为二阶10项，则有：

式中aiα、aiβ和aiρ（i=1，2，3）为待求系数。

式（4-4）也常记为矩阵的形式：

其中

x、y、z代表CIE色度值XYZ或L*a*b*，[ ]T代表矩阵的转置。

也可构建包含3次项的3阶多项式，如M含有R、G、B、R2、G2、B2、RG、GB、BR、R3、G3、B3、R2G、G2B、B2R、RG2、GB2、BR2、RGB，以及常数项共20项等。

式（4-4）～（4-6）表明，对于二阶10项多项式的情况，只要能够得到30个关系系数A=Aij（i=1，2，3，j=α，β，ρ），即可建立从设备颜色到输出颜色的特性关系。(www.xing528.com)

解出系数值的过程首先是设计并实际输出一定数量的颜色；然后，测量各个颜色的CIE色度值，则获得了数组RGB和对应的色度值Pi（i=1，2，3）。这个过程称为“采样”。之后，通过解方程（4-4）得到各关系系数。

从方程上看，这里只要30个颜色的采样即可求解所需要的所有系数，但实际上远没有这么简单。原因是，这个方程并不是呈色机理所遵循的数学关系，仅是数据拟合的简单处理手段。其结果是，所得到的关系系数只符合这30个采样颜色的关系，而对于其他区域的颜色，这些系数并不一定适合。因此，实际应用中，往往采取加大采样数目的办法来解决这个困难。这种情况下，适于采用最小二乘法得到方程（4-4）的最优解。但伴随的结果是，这组最优系数不会适应所有的采样颜色，即采样色的实际色值和通过建立关系计算出的颜色值（称为拟合颜色值）会存在色差，二乘法得到最优结果的宗旨只是使所有采样色整体上色差最小。

那么，采样数目为多少才合适呢？

实际应用中没有一定的成规，但有一定的手段进行判断和选择。常用的方法是：在整个颜色色域内进行一定数目的采样，并同时输出一定数目的不同于采样色的颜色作为检验色样。当由采样颜色得到的关系系数，也使得检验色样有相近的拟合色差时，这样的采样数目才是较为合适的。

此外，多项式选择多大的阶数，也是该方法应用的一个关键问题。

通常，由所得到的整体拟合颜色的色差大小决定多项式的阶数。若较小阶数的多项式就能得到满意的拟合色差，则不去使用高阶数的多项式。因为，多项式的阶数越高，越容易出现局部区域极大的色差，这是我们所不希望的。

从这个例子可看出，数据拟合法常需要较大数目的采样，这在实际应用中是个不大情愿的事情（测试仪器的自动化多少化解了这一矛盾）。此外，数据拟合还容易引起极大的局部拟合误差，需要用巧妙的处理方法避免，如均匀采样、使高阶项的作用极小等技术手段。尽管如此，该方法还是能够获得较高的颜色转换精度，较模型法具有更高的应用价值。在扫描仪、打印机等输出设备的颜色特性化中，二阶、三阶多项式得到了较多应用。