RC电路零输入响应优化

如图1-4-5（a）所示的电路中：

t<0 时，开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC（0－）＝R0IS；

在t＝0 时，开关按箭头方向动作；

在t≥0 时，电容将对R 放电，电路如图1-4-5（b）所示，电路中形成电流i。故t>0 后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。

换路后得图1-4-5（b），根据KVL有uR+uC=0，而代入上式可得

图1-4-5　RC电路的零输入

这是一个一阶齐次方程，根据换路定理，可知初始条件uC（0+）＝uC（0－）＝u0。方程的通解为

将初始条件uC（0+）＝R0IS代入式（1-4-12），求出积分常数A为

将uC（0+）代入式（1-4-12），得到满足初始值的微分方程的通解为

放电电流为

令τ＝RC，它具有时间的量纲，即

故称τ为时间常数，这样式（1-4-13）、（1-4-15）可分别写为。

由于，为负，故uC和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uC（0+）＝R0IS，以及，当t→∞时，uC和i衰减到零。(www.xing528.com)

其变化曲线如图1-4-6所示。

图1-4-6　RC 电路零输入响应电压电流波形图

关于零输入响应曲线的几点说明：

（1）时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。

（2）对于含电容的一阶电路，τ＝RC；对于含电感的一阶电路，。

（3）τ 越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。

（4）一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数；它具有频率的量纲，称为“固有频率”（natural frequency）。

理论上认为t→∞、uC→0 时，电路达稳态；工程上认为t＝（3－5）τ、uC→0，电容放电基本结束。

表1-4-1 列出了电容电压与时间变化之间的数值关系，从中可以看出，理论上需经过无限长时间，电容放电才结束，但工程上认为只要经过4τ～5τ 的时间，电容放电便基本结束。

表1-4-1　电容电压与时间变化的数值关系

【例4.3】如图1-4-7所示，已知t<0 时电路处于稳态，t＝0 时开关打开。求t≥0 时的i（t）。

图1-4-7　例4.3 图

解：t<0 时：

t≥0 时，根据换路定律：