凸多边形随机骨料模型

混凝土的级配及骨料含量对其宏观力学特性有直接的影响。建立能够客观反映混凝土这种细观结构不均匀特征的骨料模型，是进行混凝土细观力学数值模拟的前提和基础。球形骨料模型和基于瓦拉文公式的圆形骨料模型基本上能够贴近砾石骨料的形态，但与一般的碎石骨料差异较大。近年来这方面的研究取得了一定进展。高政国、刘光廷（2003）先后研究了二维混凝土多边形和三维混凝土凸多面体随机骨料的投放算法，在此基础上形成了混凝土凸多边形和混凝土凸多面体随机骨料模型，但所建立的模型骨料含量较低，且没有考虑实际骨料级配。孙立国、杜成斌等（2005）通过一次性随机投放形成所有三角形基骨料，然后在此基础上随机延凸，生成任意形状的随机骨料。尽管该算法效率较高，但是这种简化成多边形的骨料所占混凝土试件内截面的面积未能与实际骨料级配及其含量保持等效关系。

下面介绍一种混凝土随机凸多边形骨料模型的生成方法（马怀发等，2006）。该方法基于瓦拉文公式所生成的圆形骨料模型，依次将圆形骨料内接多边形向外延凸，直至达到圆形骨料模型所占混凝土内截面的面积为止，即生成了与圆形骨料面积相同的多边形随机骨料模型。该算法所生成的凸多边形骨料模型既反映了骨料的实际形态又维持了骨料的实际级配和含量。

瓦拉文公式利用骨料在试件空间上的等概率分布，完全是基于几何概念导出的。人们自然会想到能否按照某种几何等效的原则将其推广到一般骨料形态。实际上，对于一个多面体骨料来说，尽管骨料本身边角形态在一定方向与其他方向有所差异，但由于骨料随机投放，在试件空间内任一点的任一方位都没有与骨料特定边角相对应的优势，因此，将一般骨料模型转化为以骨料形心为中心以粒径为直径的球体至少在几何意义上是合理的。同样地，在混凝土试件任一“切面”上，上述等效圆骨料在统计意义上也能够反映一般骨料的级配关系。

有关图像处理分析的结果也证实了上面的想法。王宝庭（1997）采用非圆形骨料混凝土试件的切片，利用“等效粒径”，即，进行的图像处理分析得出的平均级配曲线与三维级配曲线、二维转换曲线基本吻合。因此，可根据瓦拉文公式确定试件截面内的骨料颗粒级配，以骨料圆面积为凸多边形骨料的等效面积，在圆形随机骨料模型的基础上研究生成凸多边形骨料模型的方法。

6.3.6.1　基本算法

1.点侵入多边形的判别准则

对于任意凸多边形的各顶点A1，A2，…，Ai，Ai+1，…，An逆时针排序。多边形顶点Ai的坐标为（xi，yi），P为平面内的一点，其坐标为（x，y），对于三角形PAiAi+1，其面积为

设凸多边形A1，A2，…，Ai，Ai+1，…，An围成的内部区域为Ω，判断一个点是否在多边形内部用如下准则：P∈Ω，任一Si＞0 （i＝1，2，…，n）；P在边界Ω上，至少有一个Si＝0；P∉Ω，至少有一个Si＜0。

2.多边形延“凸”方法

在圆形骨料圆周上随机生成数个点形成多边形骨料基框架，在以多边形较长边为直径的外半圆内外延。新插入点坐标（孙_立国等，2005）为

其中R1、R2为（0，1）之间的随机数。为了提高效率，前几次迭代步可直接以边长为直径插入新点。

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图6.5　“凸”条件判别

3.“凸”条件判别

为了保证多边形为凸多边形，要求新插入点，如P为AiAi+1外侧的一点如图6.5所示，与相邻的边Ai－1Ai和Ai+1Ai+2构成的 三 角 形PAi－1Ai和PAi+1Ai+2按 式（6.17）计算的面积均为正值。

6.3.6.2　凸多边形骨料的生成

首先确定了骨料的颗粒数，粒径和在截面内的所占的面积。按前面讲过的方法生成圆形骨料模型，然后生成凸多边形骨料模型。其过程如下：

（1）在每个圆周上随机生成数个点作为多边形骨料基框架（注意大小骨料基点多少不同，大骨料基点数多于小骨料，控制点与点之间的距离，使骨料圆心在生成的多边形内部），然后逆时针顺序连接基点并将这些基点及其对应连线编码。将多边形骨料面积与其对应圆骨料面积的差值从大到小排序，并列出每个多边形骨料边长从长到短的顺序。

（2）对骨料循环。优先选择比对应圆骨料面积小的较多的多边形骨料，并选择较长的边长向外延凸。新插入的点要满足：①新形成的边长要大于设定的最小值；②新插点后使得形成的多边形增长面积要大于设定的最小值；③满足“凸”条件；④新形成的多边形骨料既不能侵入其他骨料，又不要超越边界。这些条件有一条不满足，就要重新选择插入点。满足所有条件后，插入该点，并对顶点重新逆时针排序，按边长由长到短排序。

（3）对新生成的多边形骨料面积按与对应圆骨料面积的差值排序，并判断多边形骨料总面积是否与圆形骨料总面积相等，如两者满足给定的误差条件，输出结果，否则回到第（2）步继续进行多边形扩展。

按照该方法基于图6.6的圆形骨料模型生成的多边形骨料模型如图6.7所示。这两种骨料模型的级配及对应骨料含量相同，只是骨料形状不同。

图6.6　圆形骨料模型

图6.7　多边形骨料模型