如何产生随机数

在计算机上产生随机数的方法大致可分为三类，即物理方法、随机数表方法和数学方法。目前最为常用的是数学方法。用数学方法产生随机数是通过数学递推式实现的，而由此产生的数值序列到一定长度之后或退化为零，或周而复始地出现，因此由数学方法产生的随机数并不是真正的随机数。但只要能够通过有关的各种不同类型检验，就可以把它们当作真正的随机数使用。为和真正的随机数相区别，通常把用数学方法产生的随机数称为“伪随机数”。用数学方法产生的伪随机数的特点是速度快，占用计算机内存小，对所模拟的问题可以进行复查，一般具有较好的概率统计性质。

用数学递推式产生随机数的方法有多种，具有代表性的是平方取中法和同余法。平方取中法是最早用于产生随机数的方法。该方法将一个n位数X′i自乘得到一个2n位数字，然后取其中间的n位数，便得到一个新的n位随机数。将这个新的n位随机数再自乘，再取其中间部分，得到第三个随机数，依此类推便得到一个随机数列。将这个随机数列除以n位数的最大整数值，便得到（0，1）之间的随机数Xi。平方取中法递推公式可表示为

式中：X为n位数的最大整数。

在产生伪随机数的数学方法中，同余法是使用较广的方法，其中的乘同余法和混合同余法因产生伪随机数周期长，统计性质好而得到最为广泛的应用。乘同余法的递推公式为

式中：A为乘因子，为（0，M－1）之间的数；M为模数，是一个很大的数，通常为2b或2d的形式，其中b，d为二进制的计算机字长；（mod M）表示除以模后取其余数。当给定一个初值X0之后，由式（6.3）就可以得到随机数序列X1，X2，…，Xi，…，再由Ri＝Xi/M即可得到（0，1）区间均匀分布的随机变量Ri序列。

混合同余法的递推公式为(www.xing528.com)

式中：C是非负整数，在（0，M－1）之间，通过选择适当的参数C可以改善伪随机数的统计性质。

用上述同余法产生的随机变量是模M的余数，因此它必定小于M，即0≤Xi＜M。显然，Xi的取值范围为0～（M－1）。最多只能有M个不同的取值。所以Xi有重复周期性，其重复周期T≤M。为了获得长周期的随机变量序列，应当尽可能地取大的M值。并合理选取其他参数，使得到的结果是全周期的。一般认为，为得到最大周期，参数选择必须满足如下两个条件：①C＞0，且C与M互素；②乘子（A－1）是4的倍数。为了尽量减少随机数之间的关联性，一般取A＝5n＜2b，其中n为满足该条件的最大奇数。

用数学方法通过计算机得到的随机数是“伪随机数”，其特点（或者说缺点）之一就是具有一定长度的周期。以字长b＝30（230＝1，073，741，824）的普通计算机为例，如果可以保证最长周期达到10亿，这种随机数列的分布就可以看成是均匀而且连续的，并且可以满足实际应用的需要。

经过数值试验，对于二维问题当b＝16，A＝2053，C＝13849时，对于三维问题当b＝81，A＝29，C＝217时所产生的系列伪随机数是足以令人满意的。