应力张量和自由能势分解

由4.4.1节可知，混凝土材料在拉、压应力下的损伤机制不同，一些学者直接将柯西应力张量分解为正、负两部分（Mazars，1989；Ju，1989），但由于柯西应力张量未知，因此相应的霍尔姆兹弹性自由能势是柯西应力张量的隐式表达式，需要先对柯西应力张量迭代收敛然后才能对其分解，进而得到材料的弹性霍尔姆兹自由能势，增加了计算量，同时计算的收敛性和稳定性也无法保证（吴建营，2004）。Faria等（1998）首次将有效应力张量分解为正、负两部分。

有效应力正张量：

有效应力负张量：

这里，pi为主应力σi对应的主方向。

用受拉损伤变量d+和受剪损伤变量d－来分别描述上述两种基本损伤机制对材料宏观力学性能的影响。霍尔姆兹自由能势分解为

ψ（εe，qp，d+，d－）＝ψe（εe，d+，d－）+ψp（qp，d+，d－）

式中：ψe（εe，d+，d－）为弹性自由能势；ψp（qp，d+，d－）为塑性自由能势；qp为描述材料塑性特性的内变量。

弹性自由能势分解为受拉部分和受剪部分：

ψe（εe，d+，d－）＝ψe+（εe，d+）+ψe－（εe，d－）

受拉部分：

其中（εe）为受拉无损伤状态下的弹性自由能势，表达式为

受剪部分：(www.xing528.com)

其中（εe）为受剪无损伤状态下的弹性自由能势，表达式为

式中：∶为有效受压偏应力的第二不变量；为的第一不变量；为的第一不变量。

同理，塑性自由能势可分解为

ψp（qp，d+，d－）＝ψp+（qp，d+）+ψp－（qp，d－）

在一般的结构非线性分析中，如果不考虑混凝土受拉应力作用所发生的塑性变形，即ψp+（qp，d+）＝0，则有

弹塑性自由能势按拉、剪分解为

ψ（εe，qp，d+，d－）＝ψ+（εe，qp，d+）+ψ－（εe，qp，d－）

正的应力张量产生的弹塑性自由能势为

负的应力张量产生的弹塑性自由能势为

有效应力张量由弹性应变张量即可求得，由应变显式地表达，所以材料的弹性霍尔姆兹自由能势也可以由应变显式地表达，较基于柯西应力张量分解得到的弹性霍尔姆兹自由能势易求，便于数值计算。同时，无损伤时材料的弹性霍尔姆兹自由能势等于材料的初始应变能。

自混凝土损伤力学诞生以来，正如4.2节所述，许多学者做了大量的工作，从简单到复杂，建立了各种损伤模型。由于混凝土材料的复杂性，几乎每个模型都是在特定的条件下建立起来的。人们不得不在理论的严密性、全面性与解决现实问题的可操作性之间选择折中方案。下面将介绍几种典型的损伤模型。