象元插值运算及其法则

插值运算（Interpolation Operation），用以形成两象元之间的过渡关系。插值运算也有新象元产生，产生的新象元构成差分象元集合。插值运算反映基本象元集合与差分象元集合间的映射关系。合并运算主要适用于不同类象元之间的合并，而插值运算适用于任意两个基本象元之间，并且执行不同的运算法则定律。

依据象元类别及差异程度，插值运算分为同类象元间插值运算和异类象元间插值运算，而同类象元间插值运算又包括同级象元间插值运算和异级象元间插值运算两种情况。通常可以将同类象元插值运算分为1～5个度，将异类象元插值运算分为1～7个度。图中以符号作为插值运算的运算符。

同类象元插值运算的运算法则规定为

其中，象元Mai、象元Mak∈{骨-面象元}∪{动-静象元}∪{量-势象元}∪{共-个象元}，{差分象元Man′ }∈{差分象元}，n∈{1，2，3，4，5}。

异类象元间插值运算的运算法则规定为

{差分象元Mcn} = {差分象元Mc1，差分象元Mc2，…，差分象元Mcn}其中，象元Mai、Mbj∈{基本象元}。当象元Mai∈{骨-面象元}时，象元Mbj∉{骨-面象元}；当象元Mai∈{动-静象元}时，象元Mbj∉{动-静象元}；当象元Mai∈{量-势象元}时，象元Mbj∉{量-势象元}；当象元Mai∈{共-个象元}时，象元Mbj∉{共-个象元}。{差分象元Cn∈}{差分象元}，n∈{2，3，4，5，6，7}。当n=1时，象元象元Mbj= 象元Ai。

象元符号图像插值算法的基本思想是首先将象元符号图像分割成不同区域，然后将插值点映射到象元符号图像，判断其所属区域，最后根据插值点的邻域像素设计不同的插值公式，计算插值点的值。原理图如2-5所示。

图2-5 插值算法原理图
Fig.2-5 Law to interpolation operation

具体过程如下：

设原始象元符号图像为f，缩放的比例是SH和Sv，插值后图像F中像素的位置记为(I,J)，其所对应的原始图像中的位置为(x′,y)′，关系为

令。

其中floor(x)表示不超过x的最大整数，可以看出，0≤dx，dy＜1，如图2-6（a）中原始象元符号图像A、B、C、D四点的坐标分别是(x,y)，(x+1,y)，(x,y+1)和(x+1,y+1)，图2-6（b）为插值后的目标图像，根据不同的缩放倍数，可以在e、f、g、h、i区域插入不同个数的像素点；图2-6（c）描述了插入的像素点M(x′,y′)映射到原图的位置是：(www.xing528.com)

（1）(x′,y′)等于(x，y)，即点A：如果dx，dy均为0；

（2）(x′,y′)位于e或f区域（右边和下边4个点在该条件下映射到h或i区域）：如果dx，dy之一不为0；

（3）(x′,y′)位于g区域：如果dx，dy不为0。

根据区域标记w确定插值类型。对于e区域的点，A和B的标记相同时，为区域内部点，采用一维线性插值，公式为

否则为区域间过渡插点，采用一维非线性插值，公式为

对于f、h和i区域的方法相似。对于g区域内的点，当A、B、C、D四点的标记都相同时，为区域内的点，采用二维线性插值，公式为

否则为过渡点，采用二维非线性插值，公式为

其中，k表示插值点所属区域的标记，非线性插值公式给同一区域的像素分配较大的权值，体现区域的一致性。

图2-6 象元符号图像与插值后的像素坐标变换
Fig.2-6 Pixel coordinate transformation after interpolation operation

插值运算法则，控制的是任意两个基本象元之间的渐变与过渡关系，在此将插值运算定律定义为差分律。

象元运算和运算法则的规定，建立了象元间的切换与转化关系，为实现基于象元的三维形态特征的变化，最终实现产品形态变型与设计奠定关键基础。