软阈值化方法的目标函数分析

相较于硬阈值化方法，软阈值化在区域分配时，不再是简单的属于和不属于关系，而是用一个0到1之间的模糊度来代替。假设将图像I的所有像素是否属于某个区域r的集合定义为一个数组R，根据模糊集理论，这个数组可以被定义为：

式中，μr（i）被称为隶属度函数，它主要用来测量像素i和区域r之间的亲密度。其取值越高，该像素被划分到区域r的可能性越大。N为分割以后的区域个数。

隶属度函数的选择是模糊阈值化图像分割的关键，大量文献中采用了不同的隶属度函数测试其有效性，梯形隶属度函数是一种常用且有效的隶属度函数［142］。在设置四个模糊参数情况下，其模糊取值曲线如图5.1所示。

图5.1　四模糊参数的梯形隶属度函数

图5.1所表示的模糊隶属度函数可公式化表示如下：

四参数模糊梯形隶属度函数很容易扩展到n（n=2*（m+1））个模糊参数情形，其公式化表示如下：(www.xing528.com)

式中，a1，a2，…，an为梯形隶属度函数的模糊参数；k为图像中某个像素点的灰度值。

基于梯形隶属度函数，5.2.1节所给出的Kapur熵的模糊化表示为：

为了获取公式5.5中的n个参数，本章目标函数如公式5.7所示。从公式5.1和公式5.6比较可以看出，模糊熵（公式5.6）需要更多、更加复杂的运算，因而更需借助智能优化算法。

求解得到n个模糊参数以后，它所对应的最优阈值如公式5.8所示。从公式可以看出，之所以模糊MT方法是一种折中方案，主要是因为虽然阈值数量和硬阈值化方法一致，但是模糊方法的实际阈值为硬阈值化方法的两倍。