在目前所应用的目标函数中，基于信息熵的方法获得了学者的广泛关注，除了Otsu和Kapur这两种经典目标函数以外，Rényi熵（Rényi Entropy，RE）和Cross熵（Cross Entropy，CE）在自然和医学多阈值分割方面也获得了广泛应用。本书将以经典目标函数为基础进行试验验证，在分析相关实验数据的基础上，进一步讨论其他目标函数在多阈值图像分割方面的应用。最常用两种经典目标函数可表示如下。
1）Otsu熵
在k个阈值的情况下，图像被分为分成k+1个区域。因此，多级阈值的Otsu目标函数被定义为：
式中，TH=［t1，t2，…，tk］是包含k个阈值的向量；σi由公式2.2计算得到：
式中，μi为每个区域的平均概率水平。
2）Kapur熵
对于多级阈值化问题，Kapur熵可以被描述为：
式中，ti为m维的最优阈值，最优化目标函数可表示为：
式中，T为一个一维阈值向量。
3）Rényi熵
除了上述两种经典目标函数以外，多级Rényi熵可以表示为：(www.xing528.com)
式中，p（i）为第i个灰度等级的概率；α是一个0到1之间的数值，当它趋向于1时，该熵接近于香农熵。p（ci）定义为：
4）Cross熵
多级Cross熵可以定义为：
式中，ti为第i个阈值；c为阈值数量；m0和m1被定义为：
5）Tsallis熵
在基础香农熵的基础上，一维Tsallis熵可表示为：
式中，参数q通常称为非伸展性指数。
当Tsallis熵被扩展到多级阈值以后，其公式化表示为：
以上给出了五种经典熵编码的简单公式化表示，随着多阈值图像分割算法的不断研究和改进，将会有更多、更优秀的目标函数被提出和应用。本书将根据相关参考文献分析结果，重点分析Otsu和Kapur熵的应用。
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