运动持续线热源的温度场分析

如图2-4所示，线热源持续发热，发热功率为Q_s，并在开始发热的同时，以速度v沿x轴平移。求热源发热并运动t秒后，任意点M（x，y，z）处的温升。

图2-4 运动持续线热源示意图

与分析持续发热的点热源温度场一样，将τ_i=0到τ_i=t的整个过程分解为无数瞬间，并取其中在τ_i时刻的一瞬间dτ_i进行分析。导热体内任意点M受线热源在某时刻的一个瞬间所发热量影响而引起的温升可按瞬时线热源计算。但由于热源在运动着，所以还应考虑热源在不同时刻发热时其所在位置是不同的。在τ_i时刻，热源的位置与初始时刻的位置相距vτ_i。

在dτ_i瞬间，运动热源所发热量Q_sdτ_i对M点所造成的温升按瞬时线热源温度场计算式（2-11）计算，得

热源在dτ_i瞬间的发热看作瞬时发热，作用开始时刻为τ_i，从这时刻到观察时刻t之间的时间为τ，τ=t-τ_i。这瞬时被观察点M在x方向上离热源的距离为x-vτ，故式（2-11）中的x应以x-vτ代替。

在分析磨削温度场时，一般主要考虑的是磨削区域附近各处的温升，即热源运动方向的前后方，若干距离处的温度。为此，建立热源的相对坐标系或动坐标系，可以使运动热源温度场的求解较为方便切实。

图中坐标系的转换关系为：x-vτ_i=x-v（t-τ）=x-vt+vτ。式中x-vt为M点在观察时刻τ_i=t时的x方向的位置，即x方向的动坐标，以X表示。

图中动坐标系随热源一起运动，于是

x-vτ_i=X+vτ （2-13）

带入式（2-12）得

从τ_i=0到τ_i=t的整个过程中，运动线热源的总影响造成M点的温升可对式（2-14）积分，得

式中τ=t-τ_i，故dτ_i=-dτ。当τ_i=0时，τ=t；当τ_i=t时，τ=0。因而式（2-15）可写成

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令，则；。当τ=0时，ω=0；当τ=t时，。于是：。于是式（2-16）中的积分部分可写成

式（2-17）所表示的定积分是不可积的，只能用数值积分法求其值。当ω→0时，f（ω）→0；当时，f（ω）有极大值；当ω＞1.5时，f（ω）→0。

在一般情况下，由于ω常大于，故可认为等于。

是一个特殊函数，定义为2K₀（u），K₀（u）称为零阶二类修正贝塞尔函数。显然，K₀（u）是一个对称函数，即K₀（u）=K₀（-u）。计算K₀（u）函数时，只用u的绝对值。

当u→∞时，有

当u→0时，有

式中 γ——欧拉常数，γ=0.577216…。

当u＜0.1时，按式（2-19）计算，其误差不大于0.4%。当u较大而超过7时，由于数值运算中多位小数的多次四舍五入，K₀（u）表中的数值有很大误差，若将其代入温度场计算公式，结果会得到零值，故在此情况下，应运用式（2-18）计算。

把K₀（u）代入式（2-16），得到运动线热源温升为

当的绝对值大于7时

从式（2-21）可以看出，不论z是正或负，都得同样的值，这说明温度在热源运动路线两侧是对称分布的。而X为正或负时，虽K₀（u）函数的值也相同，但则不同，这说明热源前、后同样距离的温度是不一样的。