倾斜两回转体的表面相交

两立体表面相交产生的交线称为相贯线。两回转体表面相贯线的形状随着两回转体的形状、大小及相对位置的不同而形状各异，但所有的相贯线都具有如下的特性：

1.相贯线是相交两回转体表面的共有线，也是它们的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点，所以求相贯线，实质就是求相交两回转体表面的共有点。

2.立体是有一定的空间范围的，所以相贯线是封闭的。

3.相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。

下面介绍求相贯线的两种常用的方法：

（1）利用立体表面投影的积聚性，直接求相贯线上的点。

（2）利用辅助平面法，求作相贯线上的点。

一、利用立体表面投影的积聚性，求相贯线

例求作轴线垂直相交的两圆柱表面的相贯线，如图5-25（a）所示。

分析：两直径不同的圆柱体垂直相交，相贯线是一封闭的空间曲线。其前后、左右对称，直立圆柱体的柱面水平投影积聚成圆周，所以相贯线的水平投影也积聚在此圆周上，相贯线的侧面投影积聚在大圆周上。因此，只需要求做出相贯线的正面投影即可。

图5-25 轴线互相垂直的两圆柱面交线的画法

作图步骤（如图5-25（b）所示）：

1.求特殊点。相贯线上的特殊点主要是转向轮廓线上的共有点和极限点。从图中可知，Ⅰ，Ⅲ点既是相贯线的最高点，又是最左、最右点。Ⅱ，Ⅳ点既是相贯线的最低点，又是最前、最后点，所以由已知投影1，2，3，4与1″，2″，3″，4″，可求得1′，2′，3′，4′。

2.作一般点。先在相贯线的侧面投影中任取一重影点5″（6″），求出其水平投影5，6，然后再求做出5′，6′。利用此法可作若干一般点的正面投影。光滑连接各共有点的正面投影，即完成作图（亦可先取5，6，然后求5″，6″，最后求5′，6′）。

圆柱与圆柱正交，相交曲面为立体的外表面。另外，相交的曲面还会出现两内表面相交和外表面与内表面相交的形式。如图5-26所示，它们所产生的相贯线的形状及作图法均相同。

二、利用辅助平面法求相贯线

图5-26 圆柱穿孔后的孔壁相贯线

1.辅助平面法的原理

当两曲面立体的相贯线不能直接求出时，假设作一适当辅助平面，使其与相贯的两回转体相交，求出辅助平面与两回转体的截交线，则两截交线的交点必为相贯线上的点，若选取适当数量的辅助平面，则可求得足够数量的共有点。顺次光滑连接各点，即可做出相贯线的投影，如图5-27所示。

图5-27辅助平面法（三面共点）

2.辅助平面的选择

为了便于作图，辅助平面应为特殊位置平面，并使其与两相贯曲面立体表面的截交线均为最简单的图形——平面多边形或圆；而且辅助平面还须作在两回转面的相交区域内，否则得不到共有点。

3.用辅助平面法求相贯线的步骤

（1）作辅助平面；

（2）分别做出辅助平面与两回转体的截交线；

（3）求出两截交线的交点，即为相贯线上二的点。

4.作图步骤

例2 求轴线正交的圆柱和圆锥台的相贯线，如图5-28所示。

图5-28 圆柱与圆锥台正交的相贯线

分析：如图5-28所示，圆柱与圆锥轴线正交，相贯线为一前、后对称的空间封闭曲线。圆柱的轴线是侧垂线，圆柱的侧面投影积聚成圆，所以相贯线的侧面投影也积聚在圆柱的侧面投影的圆周上。相贯线的正面与水平投影都没有积聚性。用辅助平面法来作图，圆锥的轴线为铅垂线，辅助平面选水平面。

作图步骤：

（1）求特殊点。相贯线的最高点Ⅰ和最低点Ⅱ是圆锥的最左素线与圆柱的最上、最下素线的交点，所以Ⅰ、Ⅱ的正投影1′、2′与侧投影1″、2″可直接确定，由1′、2′和1″、2″可求出其水平投影1、2。

点Ⅲ、Ⅳ为相贯线的最前点Ⅲ和最后点Ⅳ，分别位于水平圆柱的最前和最后素线，其侧面投影可直接求出，水平投影3、4可过圆柱轴线作辅助水平面（P2）求出，再由3、4和3″、4″可求得正面投影3′、（4′）。

（2）求一般点。作辅助水平面（P1），平面（P1）与圆锥的截交线为圆，与圆柱的截交线为两平行直线，交点Ⅴ、Ⅵ即为相贯线上的点。求两截交线的水平投影，则它们的交点5、6即为Ⅴ、Ⅵ点的水平投影，其侧面投影在P1w上，正面投影在P1v上。

同理′作辅助平面（F′3），又可求出相贯线上7、8点的水平投影（7、8）、侧面投影（7″、8″）和正面投影（7′、8′）。

（3）判别可见性。在下半个圆柱面上的相贯线的水平投影是不可见的。3、4两点是相贯线水平投影的可见与不可见的分界点，正面投影中相贯线前、后部分的投影重合。(www.xing528.com)

（4）按顺序将各点的同面投影连成光滑的曲线，正面投影中可见点1′、5′、3′、7′、2′连成实线，水平投影中可见点3、5、1、6、4连成实线，4、（8）、（2）、（7）、3各点连成虚线。

例3 求圆柱与半圆球相贯线的投影，如图5-29所示。

图5-29 柱、球相贯

分析：由图5-29可知，由于圆柱轴线垂直于水平投影面，其圆柱面的水平投影有积聚性，故选水平面或正平面作辅助面均可。若选用正平面作辅助面，则它与圆柱表面的截交线是二平行直线，与半球的截交线为一半圆，两截交线的交点就是两立体表面的共有点。

（1）求特殊点

从图中可知：正面投影中两立体轮廓线的交点1′、2′就是相贯线上两点Ⅰ、Ⅱ的正面投影，而且为相贯线上的最高点和最低点。由水平投影3、4可知，点Ⅲ和Ⅳ分别为相贯线上的最前点和最后点，其正面投影可用辅助平面法求出。如过点Ⅲ作一正平面（P1），它与半球的截交线的正面投影为半圆，与圆柱的最前素线相交于3′点。

（2）求一般点

作若干个正平面为辅助平面，就可求得若干个共有点。如作辅助面P2可求得Ⅴ、Ⅵ。

（3）将所得各点的正面投影依次光滑地连接起来，就为相贯线的正面投影，相贯线前后对称，其正面投影可见。

例4 求作图5-30所示组合体上相贯线的投影。

分析：该组合体由圆台和部分圆球组成，圆台的轴线不通过球心，圆锥面与球面的各投影都没有积聚性，相贯线的三个投影均需用辅助平面法求之。

作图：

（1）求作特殊点

从图上可以看出，圆台的最左、最右素线与球体的转向轮廓线有交点，交点为Ⅰ、Ⅲ，正投影1′、3′可直接确定，再求1、3、1″、3″。

图5-30 利用辅助平面法求作相贯线

圆台的最前、最后素线与球面的交点为相贯线的最前、最后点。从侧面投影可以看出，分别过圆台的最前、最后素线作侧平面Q，交球面为一段圆弧。交圆台为两直素线，两截交线的交点Ⅱ、Ⅵ即为相贯线上的点，求其投影的顺序为2″、4″→2′、（4′）→2、4。

（2）求作一般位置点

在Ⅰ、Ⅲ点之间作辅助平面——水平面，交圆台水平投影成圆，球面水平投影为一圆弧，圆与圆弧的交点即为相贯线上的点。

例如，作一水平面P，在正面投影积聚为P′，P与圆台的截交线为一圆，其水平投影反映实形；P与球面的截交线为圆弧，水平投影也可直接求得。两截交线的水平投影交于5、6两点。由5、6→5′（6′），5′、6′为重影点，5′可见，6′不可见。求5、6、5′（6′）→5″6″。

同理，再作若干辅助水平面，则可求得相贯线上一系列点。

（3）依次连接各点的同面投影，并判别可见性。

完成的三面投影如图5-30（d）所示。

三、相贯线的特殊情况

两曲面立体的相贯线一般为空间曲线，如果相交两曲面都是二次曲面，且公切于个二次曲面时，相贯线则成为两条平面曲线。如果它们的轴平面为某投影面平行面，则相贯线在该投影面上的投影积聚为直线段。如图5-31所示，两圆柱直径相等，轴线正交，且外切于同圆球面，其相 线转化为两个相同的椭 ，椭圆的正面投影为两条相交直线段，相贯线的水平投影与侧面投影分别与两圆柱的积聚性投影重合。

图5-31 二次曲面的相贯线为平面曲线的情况

两回转曲面共轴线时，其相贯线是圆，且圆所在的平面垂直于回转曲面的轴线。该轴线为铅垂线时，圆的V面投影为直线，H面投影为圆，如图5-32所示。

图5-32 同轴线相贯线的情况

四、圆柱、圆锥相贯线的变化情况

通过上述分析，相贯线的空间形状和投影形状的变化与两曲面立体的表面性质、相互位置以及尺寸大小有关。

表5-3 表面性质和相对位置相同而尺寸不同对相贯线形状的影响

表5-4 表面性质和相对位置对相贯线形状的影响

续表

五、相贯线的简化画法

如两圆柱的轴线垂直相交，如图5-33所示，在主视图上的相贯线可用圆弧代替。画法如下：分别以1′或2′为圆心，以大圆柱的半径R为半径画弧，与小圆柱的轴线相交于O点，再以O点为圆心，R为半径画弧。即为相贯线的正面投影，相贯线的圆弧是向大圆柱的轴线弯曲的。

图5-33 相贯线的简化画法