立体投影与表面点线投影技巧

立体由其表面围成，根据其表面性质的不同，可分为两大类：

1.平面立体：表面均为平面的立体。如棱柱、棱锥。

2.曲面立体：表面均为曲面或曲面与平面的立体。如圆柱、圆锥、圆球和圆环。

一、平面立体

画平面立体的投影图，可归结为求各条棱线及所有顶点的投影，在画平面立体的投影图时，一定要区分可见性，可见棱线的投影应画成粗实线，不可见棱线的投影应画成虚线。

1.棱柱

（1）形成和投影分析，如图5-1所示，为一正六棱柱直观图及投影图。

图5-1 正六棱柱在三投影体系中的直观图及投影图

正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面围成，其顶面与底面为互相平行的正六边形，且平行于H面，其水平投影反映实形，且重合，正面投影与侧面投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。正六棱柱的每个侧棱面均是由两条侧棱线与两条底棱线围成的矩形。前后两个侧棱面平行于V面，为正平面，正面投影反映实形，且重合。水平投影及侧面投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。另外四个侧棱面均为铅垂面，水平投影分别积聚成倾斜直线，并与顶面、底面边线的水平投影重合。正面投影和侧面投影均为类似形（矩形）。

正六棱柱的三面投影图的画图步骤如下：

1）一般先画出对称中心线；

2）画反映实形的投影面上的投影，即画棱柱的水平投影——正六边形；

3）根据投影关系画出正面投影与侧面投影。

由于物体的三面投影的形状和大小与物体对投影面距离的大小无关，所以将投影轴省略不画，但应注意，在取消投影轴后，仍要保持各投影图之间的投影关系。对物体上各点的位置可用其相对坐标值来保证。

（2）棱柱表面取点

如图5-2所示，正六棱柱表面有点M和N，已知M正面投影m′，N的水平投影n，求作它的另外两个投影。

图5-2 正六棱柱表面上点的投影

在立体表面取点，其作图方法与在平面内取点是一致的，但要明确所取点的位置，即它属于哪个表面，根据表面的可见性，可区分该点投影的可见性。

因为m′可见，所以M必在左前方的棱面AA0B0B上，由于AA0B0B为铅垂面，水平投影积聚成直线aa0b0b，所以m必在aa0b0b上，由m，n′可求n″，因为a″a′0b″0可见，所以m″可见。

因为n可见，所以点N必在顶面ABCDEF上，由于ABCDEF为水平面，其正面投影与侧面投影积聚成直线，则n′，n″在这两条直线上，作图方法如图5-2所示。

2.棱锥

（1）形成和投影分析

如图5-3所示，为一正三棱锥的直观图及投影图。

正三棱锥由底面和三个侧棱面围成，从图中可以看出，底面ABC为水平面，水平投影反映实形ABC，正面投影与侧面投影积聚成直线，侧表面SAB及SBC为两对称的一般位置平面，三面投影均为类似形。侧面投影重合于s″a″b″并可见。侧表面SAC为侧垂面，正面投影与水平投影均为类似形，且s′a′c′不可见，侧面投影积聚成斜线。三条棱线中，SA与SC为一般位置直线，SB为侧平线。

正三棱锥的三面投影图的画图步骤如下：

1）一般可先画底面的水平投影和另两个积聚性投影。

2）画出锥顶的三面投影。

3）将锥顶和底面三个顶点的同面投影连接起来即可。

图5-3 正三棱锥的投影

（2）棱锥表面上取点

如图5-4所示，已知正三棱锥表面上点E、F，E的正面投影为e′，F的水平投影为f，求它们的另两个投影。

在平面立体表面取点，如果点在立体的特殊位置平面上，则利用积聚性特点作图，如果点在立体的一般位置平面上，则需利用辅助线法作图，并判别可见性。

作图：

1）由于e′可见，所以点E在左棱面 SAB上，SAB为一般位置平面，所以求e，e″必须用辅助线法。

过点E和锥顶S作辅助直线S1，则e′必属于s′1′，作S1的水平投影s1，侧面投影s1″，因为E∈S1，所以e∈s1，e∈s″1″，又因为SAB的水平投影及侧面投影均可见，所以e，e″可见。

图5-4 棱锥表面上取点

2）由于f可见，所以点F在后棱面SAC上，SAC的侧投影积聚成线，所以f′可直接求出，即f″∈s″a″（c″），由f，f″可求出f′。因为s′a′c′不可见，所以f′为不可见。

平面立体表面取线最终也将归结为平面立体表面取点，需注意的是，在连接点的投影时，只有在同一表面上的点的同面投影才能连接。

例 已知三棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影（图5-5）。

从图中可见，MN为折线，分别在侧表面SAB与SBC上，而其折线的折点K在棱线SB上，可直接求出k′，k″，k，MN分别在SAB与SBC上，利用棱锥表面取点的方法求出m， m″，n，n″，作图方法如图5-5所示，KN∈SBC，SBC的侧面投影不可见，所以k″n″不可见，需画成虚线。

图5-5 棱锥表面上线段的投影

二、曲面立体的投影及表面上的点和线

在曲面立体中，工程上使用较多的是圆锥、圆柱、圆球、圆环等回转体。

1.圆柱

（1）圆柱体投影分析及画法

圆柱是由圆柱面和上、下底面所围成的。

圆柱面是由一条母线绕与它平行的轴线旋转而成。

图5-6为直立圆柱在三投影面体系中的直观图及投影图。

图5-6 圆柱的投影

如图5-6所示，圆柱体的上、下底面与水平投影面平行，水平投影反映实形（圆），圆柱体的轴线为铅垂线，圆柱侧面为铅垂面，其水平投影积聚在圆周上（与上、下底面轮廓线的投影圆周相重合），也就是说，圆周上任何一点都是圆柱面上相应位置直素线的水平投影。

圆柱体的正面投影和侧面投影均为大小全等的矩形线框，正面投影中矩形线框的上下两条水平直线a′c′（d′）b′，a′0c′0（d′0）b′0为圆柱上下底面的正面投影，左右两条铅垂的直线为圆柱面上最左、最右素线的投影，它们把圆柱面分成等分的前后两部分，前半部可见，后半部不可见，故称它们为圆柱面前后可见与不可见的分界线，即前后转向轮廓线。圆柱体的侧面投影的矩形线框的上下两条水平的直线段为圆柱上下底面的侧面投影，左右两条铅垂的直线为圆柱面上最前最后素线的投影，它们把圆柱面分为等分的左右两部分，为圆柱侧面投影的可见性分界线，即左右转向轮廓线。左半部可见，右半部不可见。

极限素线作外形轮廓线时，画其投影，其它投影则只确定在投影中的位置而不画其投影。所以，最左、最右素线正面投影为直线段，侧面投影与轴线的侧面投影重合，水平投影在横向中心线与圆周相交的位置。最前、最后素线侧面投影为直线段。正面投影与轴线的正面投影重合，水平投影在竖向中心线与圆周相交的位置。

（2）表面取点线

如图5-7所示，圆柱面上有两点P、K，已知其正面投影P′和k′，求另外两面投影。

作图：P点位于圆柱面最左的素线上，所以P， p″可直接求出。

K 点在圆柱面上不属于极限素线，则利用圆柱面积聚性的水平投影圆周，先求出k，再由k，k′求出k″。由于点k在圆柱面的前右半部，所以其侧面投影k″不可见。

例2 如图5-8所示，已知圆柱表面上的曲线AE的正面投影a′e′，试求其另外两投影。

图5-7 圆柱表面上点的投影

分析：圆柱面上只有素线，方向为直线，其余为曲线。此圆柱面的轴线垂直于侧投影面，所以其侧面投影积聚为圆，曲线是由许多点集合而成，只要求出曲线上若干点的投影，同面投影依次光滑连接，即可得到曲线的投影，但要判别其可见性。

作图：

1）在a′e′上选点a′，b′，c′，d′，e′；

2）利用积聚性，先求出其侧面投影a″，b″，c″， d″，e″；

3）由a′，b′，c′，d′，e′及a″，b″，c″，d″，e″，求出a，b，c，d，e；

4）由于ABC在圆柱表面的上半部，所以水平投影abc可见为粗实线，CDE在下半部，所以cde不可见，画虚线；

图5-8圆柱表面上曲线的投影

5）同面投影光滑连接即可。

2.圆锥体(www.xing528.com)

（1）投影分析及画法

圆锥是由圆锥面和底面围成。

圆锥面是由一条直母线绕着与它相交的轴线旋转而形成。

图5-9为正立的圆锥直观图及其投影图。

图5-9 圆锥的投影

圆锥的轴线垂直于H面，为铅垂线。

圆锥的底面为水平面，水平投影反映实形——圆，正面投影与侧面投影均积聚成直线，且等于底圆的直径。

圆锥面的三面投影都无积聚性，其水平投影为圆，与底面的水平投影重合，正面投影和侧面投影为全等的等腰三角形线框。正面投影的等腰三角形线框中，两腰为最左、最右素线的投影，它们将圆锥面分为前、后两半部分，前半可见，后半不可见，为圆锥前后两半部的转向轮廓线，底边为圆锥底面的投影。侧面投影的等腰三角形线框中，两腰为最前、最后素线的投影，它们将圆锥面分成左右两半部分，左半可见，右半不可见，为圆锥左右两半部的转向轮廓线，底边仍为圆锥底面的侧面投影。

最左、最右素线正面投影为三角形的两腰，侧面投影与轴线投影重合，水平投影与圆的水平对称中心线重合，最前、最后素线的侧面投影为三角形的两腰，正面投影与轴线的正面投影重合，水平投影与圆的垂直对称中心线重合。

（2）表面取点、线

例1 如图5-10所示，已知圆锥表面上M点的正面投影m′，K点的正面投影k′，求它们的另外两个投影。

分析：从图中可知，M点在最左素线SA上，所以m，m″可直接求出，而K点在圆锥面上一般位置，所以需要做辅助线才能求出k，k″点。

作图：

1）因为m′∈s′a′，所以m∈sa，m″∈s″a″直接作图即可；

图5-10 圆锥表面上点的投影

2）点K为一般位置的点，求k，k″有两种方法。

①辅助素线法

过点K及锥顶S作锥面上的素线SE为辅助素线。先过k′作s′e′，由e′求出e，e″，连se及s″e″则得SE的正面投影及侧面投影，因为K∈SE，所以k′∈s′e′，k∈se，k″∈s″e″，从而求得k，k″，因为K在前右半部分，则k″不可见。

②辅助平面法（辅助纬圆法）

过点K在锥面上作一水平辅助圆，该圆与圆锥轴线垂直，称为纬圆。纬圆的水平投影为圆，正面及侧面投影为直线，过k′作水平线交s′a′于1′点，s′b′于2′点，其水平投影为以点s为圆心，1′2′为直径的圆，则k在该圆上，利用k′，k可求出k″，k″不可见。

例2 已知圆锥表面的曲线AE的正面投影a′e′，求其另外两投影，见图5-11。

分析：圆锥面上只有素线为直线，在曲线AE上选若干点A，B，C，D，E，其中C在最前素线上，由c′可直接求出c″，c。A，B，D，E则为一般位置点，所以利用辅助素线法或辅助纬圆法可分别求出其另外两投影，并判别其可见性，最后依次光滑连接各点的同面投影，即得曲线投影。

作图过程见图5-11。

3.圆球

（1）投影分析

圆球体是由圆球面围成。

图5-11 圆锥表面上曲线的投影

圆球面是由一圆母线，以它的直径为回转轴旋转而形成的。

图5-12是圆球在三投影体系中的直观图及投影图。

图5-12 圆球的投影

圆球体的三个投影都是直径相等的圆。

正面投影的圆是平行于正投影面的圆素线的投影，它是前后半球面的可见与不可见的分界线，又称正视转向轮廓线。其水平投影与圆球水平投影的圆的水平中心线重合，侧面投影与圆球侧面投影的圆的垂直中心线重合。

水平投影的圆是平行于水平投影面的圆素线的投影，它是上下半球面的可见与不可见的分界线，又称俯视转向轮廓线，其正面投影与圆球正面投影圆的水平中心线重合，侧面投影与圆球侧面投影圆的水平中心线重合。

侧面投影的圆是平行于侧投影面的圆素线的投影，它是左右两半球面的可见与不可见的分界线，又称侧视转向轮廓线，其正面投影与圆球正面投影的圆的垂直中心线重合，水平投影与圆球的水平投影圆的垂直中心线重合。

（2）表面取点、取线

例1 已知圆球表面上点A，B，C的正面投影a′，b′，c′，求作各点的另外两个投影，见图5-13。

分析：假设圆球上转向轮廓线的圆为M，N，P，则其投影如图5-13所示，因为a′∈n′，（b′）∈p′，所以A，B两点均在圆球的转向轮廓线上，利用转向轮廓线的三面投影，可直接求出其另两个投影，而C则位于圆球面的一般位置，则需作辅助纬圆来求解。

作图：

①因为a′∈n′，所以过a′作垂线交n于a，过a′作水平线交n″于a″，因为a′可见，所以A位于圆球的左前上部，a，a″均可见。

图5-13 圆球表面上点的投影

②因为（b′）∈p′，且b′不可见，所以，B位于圆球的下后半部，过b′作水平线交p″于b″,b″在p″的左半圆上，可见，由（b′），b″求得（b），作法见图5-13，b为不可见。

③过c′作水平线交圆n于点e′，f′，以e′f′为直径，o为圆心，在俯视图上作水平圆，则点c的水平投影必在此圆上，由c，c′可求c″，因为c′可见，故c在圆球的右下半部，所以c，c″均不可见。

例2 已知圆球表面上曲线AD的正面投影a′d′，求其另外两投影，见图5-14。

分析：在曲线AD上选A，B，C，D四点，其中点B，C为转向轮廓线上的点，可直接求出， A，D为一般位置点，需用辅助纬圆法求解。

图5-14 圆球表面上曲线的投影

作图：

①B点在侧视转向轮廓线上，可直接求b″，由b′，b″求出b。

②C点在俯视转向轮廓线上，可直接求c，由c，c′求出c″。

③过a′作水平线与正视转向轮廓线的投影交于1′，2′点，以圆球的球心的水平投影为圆心，1′2′为直径在水平投影面上作圆，则a必在该圆上，过a′作垂线交该圆于a点，因为a′可见，所以A位于圆球的前上右半部，所以a即为所求A点的水平投影，由a，a′，求出a″且a′不可见。

点D的求法与A相同，因为D位于圆球的左下前部，所以d″可见，d不可见。

B，C两点均在圆球的左、上、前部，所以b′，b″，b，c′，c″，c均可见。

④根据A，B，C，D各点投影的可见性可知，AB在圆球的右上、前部，正面投影a′b′可见，ab可见，a″b″不可见，画虚线。BC在圆球的左、上、前部，投影中b′c′，bc，b″c″均可见，CD在圆球的左、下、前部，投影中c′d′，c″d″可见，cd不可见。

⑤依次光滑连接各点的同面投影，即得曲线AD的投影。

4.圆环

（1）投影分析

圆环面是由一个完整的圆绕着与其共面，但不通过圆心的轴线回转而成，外半圆回转形成外圆环面，内半圆回转形成内圆环面，上半圆回转形成上环，下半圆回转形成下环面。

图5-15（a）、（b）为轴线垂直于水平面的圆环在三投影体系中的直观图及投影图。

如图5-15（b）所示，圆环的正面投影和侧面投影形状完全一样，水平投影是三个同心圆（其中有一个细点划线圆）。

图5-15 环在三投影体系中的直观图和投影图

圆环的正面投影中的两个圆是最左、最右素线的投影，虚线半圆表示内环面的轮廓线，粗实线半圆为外环面的轮廓线，上、下两条水平线是最高和最低纬圆的正面投影，也是内、外环面的分界线的正面投影，它们均为对正投影面的转向轮廓线。

圆环的侧面投影中的两个圆是最前、最后素线的投影。

圆环的水平投影中的两个实线同心圆是最大、最小纬圆的水平投影，细点划线圆是母线圆心轨迹的水平投影。

（2）表面取点

在图5-15（b）中，表示已知圆环上的点K的V面投影k′，求k及k″的作图方法。因为K属于正视的转向轮廓线，所以可直接求得。

又如，已知E点在V面投影e′，求e及e″。

过E在圆环面上作一纬圆，求出其水平投影一圆，则点E的H面投影e在此圆周上，因e′可见，所以点e在外圆环面的纬线上，由e，e′求出e″。