如何解决直线和平面的相交问题？

时间：2023-06-29 理论教育版权反馈

【摘要】：直线和平面相交，交点是直线和平面的共有点。交线另一侧MNC在EFGH后，则二平面重合部分不可见，画虚线，其余画实线。

如何解决直线和平面的相交问题？

直线和平面相交，交点是直线和平面的共有点。两平面相交于一条直线，交线是两平面的共有线，直线与平面相交与两平面相交均可归纳为以下两种情况：

一、特殊情况

1.一般位置直线与特殊位置平面相交

由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，因此，直线与特殊位置平面相交，可利用该平面投影的积聚性，直接求出交点的一个投影，然后再利用点的投影规律，或点的所属性原则，求交点的其他投影。

如图3-7所示，一般位置直线MN与正垂面ABC相交，ABC在V面的投影为直线a′b′c′，因为交点属于ABC，所以交点的V面投影一定在a′b′c′上。又因为交点又属于MN，所以交点的V面投影也一定在m′n′上，所以a′b′c′与m′n′的交点k′一定为MN与ABC交点K的正面投影，已知k′利用点的所属性原则，可求出K在H面的投影k。

为了增加图形的直观性，需要对直线与平面的重影部分判别它们的可见性，交点的投影为线段投影可见性的分界点，规定可见部分画粗实线，不可见部分画虚线。

判断可见性的一般方法是利用交叉直线的重影点。在图3-7上，判断MN在H面投影的可见性时，找出交叉直线MN与AB对H面的一对重影点1（2），Ⅰ∈MN上，Ⅱ∈AB上，分别求其V面投影1′，2′，ZⅠ＞ZⅡ，所以k1可见，画实线，而另一段则不可见，画虚线。

例1 求直线AB与铅垂面DEF的交点，见图3-8。

图3-7 判断可见性

图3-8 求直线与平面的交点

解：因为DEF为铅垂面，所以在H面上投影def有积聚性，直线AB与DEF的交点K的水平投影k必为def与ab相交交点，根据直线上点的投影规律，由k求出k′。

因为DEF在H面投影积聚成线，遮不住直线AB，所以水平投影ab全部可见，但在V面投影中，重影点1′（2′），Ⅰ∈AB，Ⅱ∈DEF，Y1＞YⅡ，所以k′1′可见，而交点另一侧则不可见，为虚线。

2.投影面垂直线与一般位置平面相交

投影面的垂直线与一般位置平面相交，其交点的一个投影重合在直线有积聚性的投影上，而另一个投影则可利用交点属于平面，用面上取点的方法求出。

例2 求正垂线EF与一般位置平面ABC的交点，见图3-9。

解：因为EF⊥V面，所以e′（f′）积聚为一点，交点K的V面投影k′与e′（f′）重合。因为K∈ABC，所以k′∈a′b′c′，利用面内取点的辅助线法求出k。

选择EF与AC对H面的重影点，判别直线对面投影的可见性，如图3-8所示。

3.一般位置平面与特殊位置平面相交

两平面相交，其交线为一条直线。求两平面交线就是求两平面的共有线，也可求任意两个共有点的连线，也可求一个共有点，并确定交线方向。

如图3-10（a）、（b）为一般位置平面ABC与铅垂面EFGH相交，只要求出交线MN上的两个点M、N，连接即为所求，而M为AC与EFGH的交点，N为BC与EFGH的交点，平面与平面相交，转化为求直线与平面的交点的作图。

图3-9 特殊位置直线与一般位置直线相交

（1）求直线AC与EFGH的交点，在H面上求得ac与efgh的交点m，由m→m′；

（2）求直线BC与EFGH的交点，在H面上求得bc与efgh的交点n，由n→n′；

（3）连接nn，m′n′即为所求交线的投影；

（4）判别可见性，交线MN为两相交平面可见与不可见的分界线，ABC以MN为界， ABNM在EFGH之前，则ABNM在正投影上可见，即a′b′n′m′画粗实线。交线另一侧MNC在EFGH后，则二平面重合部分不可见，画虚线，其余画实线。又因为EFGH在ABC之后，所以e′h′与a′b′c′重合部分画虚线，两平面的水平投影均为可见。