平面投影分析：求解四边形V面投影

一、平面的表示法

由几何学可知，平面的空间位置可用下列几种方法确定：

1.不在同一直线上的三个点，如图2-27（a）所示；

2.一直线和直线外的一个点，如图2-27（b）所示；

3.两条相交直线，如图2-27（c）所示；

4.两条平行直线，如图2-27（d）所示；

5.任意平面图形，如图2-27（e）所示。

上述五种表示平面的方法可以相互转换。

图2-27 几何元素表示平面

二、各种位置平面的投影

在三投影面体系中，平面对投影面的相对位置有三种：一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。其中后两种平面称为特殊位置平面。

1.一般位置平面。对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。平面与投影面H、V、W面的倾角分别用α、β和γ表示。

如图2-28所示，一般位置的平面ABC的三面投影abc、a′b′c′、a″b″c″三投影均为边数相同的三角形，既不反映该平面图形的实形，也没有积聚性。

图2-28 一般位置平面

由此可见，一般位置平面的投影特性为：三个投影都是小于实形的类似形，不反映平面与投影面的倾角α、β、γ真实大小。

2.投影面的垂直面。只垂直于一个投影面的平面，称为投影面的垂直面。只垂直于H面的平面称为铅垂面，只垂直于V面的平面称为正垂面，只垂直于W面的平面称为侧垂面。

图2-29所示为铅垂面ABC的投影。由于ABC⊥H，而倾斜于V面和W面，因此，铅垂面的投影特性为：

（1）水平投影积聚为倾斜的线段；

（2）水平投影与OX轴、OY轴的夹角分别反映ABC对V面、W面的倾角β、γ。

（3）正面投影和侧面投影为类似形。

图2-29 铅垂面的投影

同样，正垂面和侧垂面也有类似的投影特性，见表2-3。

总之，投影面的垂直面的投影特性为：

（1）在其所垂直的投影面上的投影积聚为一倾斜线段，该倾斜线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；

（2）在另外两个投影面上的投影为类似形。

表2-3 投影面垂直面

续表

3.投影面的平行面。平行于一个投影面的平面称为投影面的平行面。平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面；平行于W面的平面称为侧平面。

图2-30所示水平面四边形ABCD的投影，由于水平面平行于H面，就一定垂直于V面和W面，因此水平面的投影特性为：

（1）水平投影abcd反映四边形ABCD的实形。

（2）正面投影和侧面投影积聚为直线，且分别平行于OX轴和OYW轴。

同样，正平面和侧平面有类似的投影特性，见表2-4

图2-30 水平面投影面

表2-4 投影面平行面

总之，投影面的平行面的投影特性为：

（1）在其所平行的投影面上的投影，反映平面的实形；(www.xing528.com)

（2）其余两个投影面上的投影有积聚性，且分别平行于相应的投影轴。

三、平面内的直线和点

1.平面内的直线。满足下列条件之一的直线在该平面内。

（1）通过平面内的两点；

（2）通过平面内的一点，且平行于平面内的一直线。

如图2-31（a）所示，AB、AC为两条相交直线，点M在直线AB上，点N在直线AC上，则直线MN必在AB与AC相交直线决定的平面P上，如图2-31（b）所示为其投影图。

图2-31 平面上取直线

又如图2-32（a）所示，DE与EF两条相交直线决定一平面Q，在DE上取一点M，过M 作MN∥EF，则MN必在Q平面上，如图2-32（b）为其投影图。

图2-32 平面上取直线

2.平面上的点。点在平面内的条件是：

如果点在平面的某一直线上，则此点必在该平面内。

如图2-33（a）所示，两条相交直线AB和BC决定一平面，点D在直线AB上，点E在直线BC上，因此，点D及E均在AB和BC所决定的平面上，图2-33（b）为其投影图。

图2-33 平面上的点

例8：已知ABC面内一点K的H面投影k，试求其V面投影k′，如图2-34所示。

图2-34 在平面上作点

分析：点K在平面内，则必在平面内的一条直线上。所以过点的已知投影k，任作面内一辅助直线，可以求出此线的V面投影，即可求出k′。引辅助线时，应使作图尽量简单，可以过平面内两已知点作辅助线，如图2-34（a）所示；也可以过平面内一已知点，作平面内已知直线的平行线，如图2-34（b）所示，还可以任意引得，如图2-34（c）所示。其中2-34（a）最简单。

解：（1）连ck，并延长使其与ab交于d；

（2）在a′b′上求出d′，连接d′c′；

（3）据k′在d′c′上求出k′。

例9：已知四边形ABCD的H面投影abcd和V投影a′b′c′，如图2-35所示，试完成其V面投影。

图2-35 完成四边形的投影

分析：A、B、C三点确定一个平面，它们的H、V面投影均已知。因此，完成四边形ABCD的V面投影，实际上就是已知ABC平面内一点D的H面投影d，求其V面投影d′。

解：（1）连接a、c和a′、c′，得辅助线AC的投影；

（2）连接b、d交ac于e；

（3）由e在a′c′上求出e′；

（4）连接b′、e′，在be的延长线上求出d′；

（5）分别连接a′d′、c′d′，即可求出四边形的V面投影。

例10：已知铅垂面ABC上一点K的正面投影k′，求其水平投影k，如图2-36所示。

分析：由于ABC平面为铅垂面，其水平投影有积聚性，所以平面上点的水平投影也必在平面的水平投影上，即在积聚的直线上。

图2-36 求铅垂面上点的投影

解：由k′作OX轴的垂线交abc于k，则k为K的水平投影，如图2-36（b）所示。

四、平面上的投影面平行线

在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面的平行线。平面上的投影面平行线的投影，既应符合投影面平行线的投影特性，又符合平面上的直线的投影特性。

图2-37（a）表示AB1C内过点A的一条正平线AM的投影，图2-37（b）表示ABC面内距H面为20mm的一条水平线MN的投影。

图2-37 平面上作投影面平行线