同点垂直线的直线投影

一、直线的投影

直线的投影一般还是直线。两点确定一条直线，因此，画直线的投影时，一般先画出两个端点的三面投影，然后分别将两点的同面投影连成直线，如图2-14所示。

图2-14 一般位置直线的三面投影

在三面投影体系中，直线有三种位置：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。后两种直线统称为特殊位置直线。

1.一般位置直线。对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。直线对H、V面和W面倾角分别用α、β和γ表示。

由图2-14（c）可知，ab＝ABcosa；a′b′＝ABcosβ；a″b″＝ABcosγ。

由此可见，一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。

2.投影面平行线。只平行于一个投影面的直线称为投影面的平行线。平行于H面的直线称为水平线；平行于V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。

图2-15所示为正平线AB的三面投影。由于AB∥V，即AB线上所有点的Y坐标相同，从图2-15（b）可以看出，正平线的投影特点为：

图2-15 正平线投影

（1）正面投影a′b′AB，且a′b′与OX、OZ轴夹角反映直线对H面和W面的倾角α、γ

（2）水平投影ab∥OX轴，小于实长。

（3）侧面投影a″b″∥OZ轴，小于实长。

同样，水平线和侧平线也有类似特性，见表2-1。

表2-1 投影面平行线

总之，投影面平行线的投影特性为：

（1）在所平行的投影面上的投影，反映实长，且其投影与投影轴的夹角，反映直线与相应投影面的真实倾角。

（2）在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且小于实长。

3.投影面垂直线。垂直于一个投影面的直线称为投影面的垂直线。垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。

图2-16所示正垂线AB的三面投影。由于直线AB垂直于V面，也就同时平行于H面和W面，因而线上各点X和Z坐标相同。因此，从图2-16所示中可看出，正垂线的投影特点为：

（1）正面投影a′b′积聚为一点；

（2）水平投影ab⊥OX轴，且反映实长；

（3）侧面投影a″b″⊥OZ轴，也反映实长。

图2-16 正垂线的投影

同样，铅垂线和侧垂线也有类似的投影特性，见表2-2。

总之，投影面的垂直线的投影特性为：

（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

（2）在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映实长

表2-2 投影面垂直线

二、线段的实长及倾角

一般位置直线的三面投影均不反映线段的实长，也不反映线段对各投影的倾角。用直角三角形法可求出线段的实长及其对投影面的倾角。

图2-17（a）所示的AB为一般位置直线。ab、a′b′都小于直线AB，过A点作AB0∥ab交Bb于B0，则在直角三角形ABB0中，AB0＝ab，BB0＝ZB－ZA，即等于a′、b′到OX轴的距离差，∠BAB0＝α（即直线AB对H面的倾角α），AB为直角三角形的斜边。可见，已知线段的两面投影，就可以求出线段的实长及其倾角，此种方法称为直角三角形法，作图如图2-17（b）、（c）所示。

图2-17 直角三角形法求线段实长的作图方法

例4：求线段CD的实长及β角，如图2-18所示。

解：作图步骤

（1） 过d′作d′D0⊥c′d′，使d′D0＝YD－YC；

（2）连接c′D0，则c′D0＝CD，∠D0c′d′＝β，如图2-18（b）所示。也可用图2-18（c）作图

图2-18 求线段的实长及β角作图

三、直线上的点(www.xing528.com)

1.点在直线上的投影规律：点在直线上，则点的各投影必在该直线的同面投影上，反之也成立。

如图2-19所示，点K在直线AB上，则点K的投影k、k′、k″分别在ab、a′b′、a″b″上，而且k、k′、k″符合点的投影规律。

2.点在直线上，则点将该直线及其投影分割成相同的比例，即分割线段之比等于其同面投影长度之比。

如图2-19所示，AK∶KB＝ak∶kb＝a′k′∶k′b′＝a″k″∶k″b″。

图2-19 直线上点的投影

例5：在直线AB上取一点K，使AK∶KB＝1∶2，求分点K 的投影，如图2-20所示。

解：点K在直线AB上，则有AK∶KB＝ak∶kb＝a″k″∶k″b″＝1∶2，作图步骤为：

（1）过a′任作一斜线a′B1，取任意单位，在该线段上取a′K1∶K1B1＝1∶2，连接b′B1，再过K1作k′K1∥b′B1，交a′b′于k′；

（2）过k′作OX轴的垂线交ab于k，则k、k′为K的投影。

例6：判断点K是否在直线AB上，如图2-21（a）所示。

分析：由于直线AB处于特殊位置（为侧平线），所以需要通过作图做出判断。其解法有两种：

解法1：做出W面投影，观察k″是否在a″b″上。从图2-21（b）所示，可看出k″不在ab″上，所以K不在直线AB上。

图2-20 直线上取点

解法2：作图步骤

（1）在H面上过a任作一斜线，使a K1＝a′K1；K1B1＝k′b′。

（2）连接kK1、bB1，因kK1与bB1不平行，故k不在直线AB上，如图2-21（c）所示。

图2-21 判断点是否在直线上

四、两直线的相对位置

空间两直线的相对位置包括平行、相交和交叉三种情况。前两种称为同面直线，后一种称为异面直线，下面分析其投影特性。

1.两条平行直线。空间两直线平行，其同面投影平行，如图2-22所示。图中有直线AB∥CD，则有ab∥cd，a′b′∥∥c′d′，a″b″∥c″d″。

图2-22 平行两直线投影特性

2.两条相交直线。空间两直线相交，其同面投影一定相交，且各同面投影的交点一定符合点的投影规律，如图2-23所示。AB、CD直线交于K，则水平投影k为ab与cd的交点，正面投影K′是a′b′与c′d′的交点，同时，侧面投影k″是a″b″与c″d″的交点。由于k、k′、k″是同一点K的三面投影，它们之间应符合点的投影规律。

图2-23 相交两直线的投影特性

3.两条交叉直线。空间既不平行，又不相交的两条直线上，既不符合两直线平行，又称为两条交叉直线。在投影图不符合两直线相交投影特性，如图2-24所示。AB、CD两交叉直线，它们的水平投影相交，正面投影平行。也有的两交叉直线的各组同面投影均相交，但交点决不会满足点的投影规律。这种交点实际上是重影点的投影，如图2-24所示。ab、cd的交点是对H面的重影点Ⅰ、Ⅱ的水平投影，Ⅰ在直线AB上，Ⅱ在直线CD上，从正面投影可看出：ZⅠ＞ZⅡ，故1可见而（2）不可见。

图2-24 交叉两直线的投影特性

五、直角投影定理

空间垂直相交两直线中的一条直线平行于某投影面，则此两直线在该投影面的投影仍然互相垂直。这是在投影图上解决有关垂直问题和距离问题的作图依据。

如图2-25所示，两条相交直线AB⊥BC，BC∥H面，AB倾斜于H面。由BC⊥AB、BC⊥Bb，所以BC垂直平行面ABba；由于BC∥bc，所以bc垂直平面ABba，因此，bc⊥ab，即∠abc＝90°。

图2-25 直角投影定理

反之，若两条相交直线在某投影面上投影互相垂直，且其中一条直线平行于该投影面，则两条直线在空间一定互相垂直。

例7：如图2-26（a）所示，已知BC∥V面和A点的两面投影，求A点到直线BC的距离。

分析：过点A作AK__BC，AK的实长即为A到直线BC的距离，由于BC∥V面，据直角投影定理可知，它们的正面投影a′k′⊥b′c′，做出垂足K的水平投影，再用直角三角形法求AK实长。

解：

作图步骤

（1）过a′作a′k′⊥b′c′，得交点k′，再由k′求k，连ak，得AK的两面投影；

（2）利用直角三角形法求AK的实长，如图2-26（b）所示。

图2-26 求点到直线的距离