如何确定三维空间点的投影轴

任何直线、平面以及立体都是点的集合，故点是最基本的几何元素，所以首先研究点投影的基本规律。如无其它说明，仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。为了确定几何元素的空间位置，需建立正投影的三面投影体系。

一、三投影面体系的建立

用互相垂直相交的三个投影面，形成三面投影体系，如图2-6所示，其中H面称水平投影面；V面称为正面投影面；W面称为侧面投影面。投影面两两相交，其交线称为投影轴。其中H面与V面的交线为OX轴；H面与W面的交线为OY轴；V面和W面的交线为OZ轴。三投影轴的交点称为原点O。

二、点在三面投影面体系中的投影

图2-6 三投影面体系

1.点的投影。如图2-7（a）所示，由空间点A分别引垂直于三个投影面H、V、W的投射线，与投影面相交，得到点A的三个投影。a为水平投影、a′为正面投影、a″为侧面投影。

空间点用大写字母表示，其水平投影用相应的小写字母表示。正面投影用相应的小写字母加上一撇表示，侧面投影用相应的小写字母加两撇表示。

得到各投影后，V面不动，分别将H、W面绕投影轴Ox、OZ按图示箭头方向各旋转90°和V面形成一个平面。展开时，H面和W面沿OY轴分开而形成OYH和OYW，展开后，它们分别与OZ轴和OX轴在同一直线上，如图2-7（b）所示。

在投影时，投影面大小不受限制，通常不必画出投影面的边框，如图2-7（c）所示。

图2-7 点的投影

2.点的直角坐标和投影规律。如把三投影面体系看做空间直角坐标系，则H、V、W面为坐标面，OX、OY、OZ轴为坐标轴，点O为坐标原点。由图2-7（a）可知，点A的直角坐标XA、YA、ZA即为点A到三个坐标面的距离，且与点A的投影a、a′、a″的关系为：

Aa″＝aa Y＝a′a Z＝oa X＝XA

Aa′＝aa X＝a″a Z＝Oa Y＝YA

Aa＝a′a X＝a″a Y＝oa Z＝ZA

由此可知：

a由Oax和Oay决定，即点A由XA、YA两坐标决定；

a′由Oax和Oaz决定，即点A由XA、ZA两坐标决定；

a″由Oay和Oaz决定，即点A由YA、ZA两坐标决定。

所以，空间点A（XA、YA、ZA）在三投影面体系中有唯一确定的一组投影a、a′、a″。反之，如已知点A的一组投影a、a′、a″，即可确定该点的坐标值，即确定其空间位置。根据以上分析，可知点的投影规律：

（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a上OX轴。

（2）点的正面投影和侧投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。

（3）点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离相等，都反映空间点的Y坐标，即aa X＝a″a Z＝YA。

点的投影规律说明了点的任一投影和其余两投影之间的关系。根据第三条规律可以得到：过a的水平线和过a的铅垂线必定交于过点O的45。角分线上，如图2-7（c）所示。

例1：已知点的正面投影a′和水平投影a，求作其侧面投影a″，如图2-8（a）所示。

解：作图步骤：

（1）作∠YHOYW的角平分线。

（2）过a作OYH的垂线，并与角平分线相交，自交点作OYW的垂线，与过a′所作OZ的垂线相交即得a″，如图2-8（b）所示。(www.xing528.com)

图2-8 求第三投影

3.各种位置的点。点的位置不同，其坐标值和投影特点不同。

（1）一般位置的点：点的三个坐标均不为零，如图2-7中的A点。

（2）投影面上的点：点必有一个坐标为零，在该投影面上投影与该点自身重合，另外两个投影面的投影分别在相应投影轴上，如图2-9中的B、C点。

（3）投影轴上的点：点必须有两个坐标为零，在包括此轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合，在另一投影面上的投影与原点重合，如图2-9中的D点。

图2-9 投影面和投影轴上的点

例2：已知A（15，10，20），求作点A的三面投影。

解：作图步骤：

（1）在OX轴截取Oa X＝15，得a X，如图2-10（a）所示。

（2）过ax作OX轴的垂线，并在此直线上取a Xa′＝20，得a′，取a Xa＝10，得a，如图2-10（b）所示。

（3）作YHOYW的角平分线。过a作OYH轴的垂线，使其与角平分线相交，自交点作OYW的垂线与过a′所作OZ的垂线交于a″，即得点A的三面投影，如图2-10（c）所示。

图2-10 已知点的坐标求作投影图

三、两点的相对位置及重影点

1.两点相对位置。两点的相对位置是指两点间的左右、前后和上下位置关系。

通过比较两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置，在投影图中是由它们的各个同面投影的坐标差来确定的。

由图2-11可看出，已知两点的三个投影的相对位置时，可根据正面或侧面投影判断上下位置；根据正面或水平面投影判断左右位置；根据水平或侧面投影判断前后位置。

例3：已知点A的三个投影，另一点B在A上方10mm；左方20mm；前方15mm，求点B的三面投影，如图2-12所示。

解：作图步骤：

（1）在a′左方20mm，上方10mm处确定b′；

图2-11 两点的相对位置

图2-12 两点的相对位置

（2）作bb′⊥OX，且在a前15mm处确定b；

（3）根据投影关系求解b″。

2.重影点。空间两点位于某投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点，如图2-13（a）所示。点A、B位于对H面同一条投射线上，其H面的投影重合，A、B是对H面的重影点，而A、C则是对W面的重影点。

重影点有两个坐标值对应相等，而第三个坐标值不等，如图2-13（b）中的A、B两点的X、Y坐标值均相等，但Z坐标值不相等，由于A在B的上方，所以在H面投影a是可见的，b认为是不可见的，表示为（b）。同理，对于A、C两点，由于C点在A左方，所以c″可见，a″不可见，表示为（a″）。

图2-13 重影点