优化数学模型与设计的三要素

结构优化设计需要把设计要求和设计目标，如结构体积、质量、位移、应力、应变、内力、频率、振型、频响函数等，以数学公式的形式表达出来，并对与这些结构性能相关的结构参数进行筛选，即对优化设计问题进行数学建模。结构优化设计通过将结构设计所应满足的各种要求和目标转化为数学模型，然后采用寻优方法找到最优解。通用的优化数学模型可表示为：

式中，向量x为设计变量，f（x）是目标函数，g（x）为约束条件，n为设计变量的个数，m为约束条件的个数。其含义是找到一组参数（设计变量），在满足一系列对参数（设计变量）选择的限制条件（约束条件）下，使设计指标（目标函数）达到最小值。

从式（8-1）可看出，一个结构优化设计问题包含三个要素，即设计变量、设计目标函数和约束条件。

1）设计变量

设计变量是优化过程中需要选定或有待确定的变量，这些变量必须与结构的性能密切相关，而且只有线性独立的设计参数才是设计变量。设计变量是结构优化设计数学模型中的一个重要组成部分，结构优化设计就是要得到最终符合所有条件的最优设计变量参数。按照变量的性质，可将设计变量分为以下四类：①材料性能设计变量，如弹性模量E、泊松比μ；②构件尺寸设计变量，如杆件的横截面积A、壳的厚度t；③结构形状设计变量，如结构的构型控制节点位置；④结构拓扑设计变量，如单元的伪密度等。

2）目标函数

一个结构设计的“优劣”，总是以某一个或多个指标来衡量，这些指标就是结构优化设计问题的目标函数，它是设计变量的函数。目标函数随设计问题的不同而不同，如飞行器设计、汽车零部件设计中，经常以结构重量为目标函数，因为设计超重，不仅燃料消耗大，运行费用高，而且会使产品达不到要求的速度、里程及高度，直接影响产品的使用性能；而在机械工业中，结构的变形、应力或动力学性能经常作为目标函数，如机床床身，可采用静刚度或动刚度为设计目标，因为床身的动静态性能直接影响机床的加工精度和加工效率。还有大量的实际问题，需要实现多个设计目标优化，如汽车设计不仅要求成本和能耗低，还要保证良好的耐撞性，这就是多目标优化问题。

3）约束条件

约束条件反映了在优化设计过程中应该满足的设计准则，设计应该符合设计规范及要求。约束条件一般可以划分为两大类，即常量约束和约束方程。在结构优化设计中常量约束是指设计变量允许的取值范围，一般是设计规范的要求。约束方程则是根据结构强度、刚度、稳定性要求所建立起来的方程式，一般以设计变量为自变量。具体来说，约束条件包括几何约束、应力约束、位移约束、频率约束等。几何约束是对结构的几何尺寸加以限制，而应力约束则是指结构的强度不能超出允许的应力范围，稳定性也必须在一定的临界应力的范围内，位移约束是指结构的某些部位不能有过大的位移，频率约束是为了避免产生共振而必须对结构的自振频率施加的约束。

图8-1 两杆平面桁架(www.xing528.com)

以图8-1所示的由两根钢管在F点铰支组成的两杆平面桁架为例，说明建立优化设计数学模型的过程。结构在F点受到垂直荷载2P，假定管壁厚度为t，半跨长度为B。设计的要求是选择钢管的平均直径D和桁架的高度H以达到重量最小。要求这些杆件既不发生塑性变形又不失稳。给定外荷载P=150 000 N，B=75 cm，t=0.25 cm，材料的弹性模量E=2.1×106 kg／cm2，密度ρ=0.007 8 kg／cm3，屈服应力σ-=7 030 kg／cm2。由于制造的原因，对于D和H有最大值和最小值的限制，它们是D=3.0 cm，D=6.5 cm，H=40 cm，H=75 cm（字母下带横杠表示该字母所代表的量的下界，字母上带横杠表示相应量的上界）。

该问题中的指定参数为B，t，E，ρ，σ-，D，D，H和H，设计变量为D和H。该问题的目标函数是结构的重量，设计受到的约束条件为：圆管杆件中的压应力应该小于或等于压杆稳定的欧拉临界应力σcr；圆管杆件中的压应力应小于或等于材料的屈服应力σ-；管子的平均直径D和桁架的高度H受到上、下界的限制。利用设计变量和指定参数，目标函数圆管的重量可表示成：式中，L为杆长，L=（B 2+H 2）12；杆件面积A≈πDt。

圆管杆件中的压应力σ为：

两端铰支压杆失稳时的欧拉临界应力σcr为

式中，J≈πD 3t为圆管断面的惯性矩。8

归纳起来，问题可以表示为：求最优的D和H，使目标函数最小，即：

将前面给出的指定参数代入这些公式中，可以把问题写得更具体。