定常不可压流动的控制方程：连续方程和N-S方程

此处对水泵数值计算中所需要的连续方程、动量方程和雷诺时均化的动量方程进行简要的介绍，一般而言不考虑能量方程。本书所研究的内容是水泵数值计算中的湍流模型，输送的介质为水，即可认为是不可压缩介质，所以书中所涉及的方程一般采用不可压缩流体的方程式。

1.连续方程

连续方程是质量守恒定律的数学表达式，其微分方程的张量形式可以写成：

式中 ρ——流体密度；

u_j——与坐标轴x_j平行的速度分量，j=1，2，3。

对于定常、不可压流动，连续方程可表示为：

2.动量方程(www.xing528.com)

动量方程，即N-S（Navier-Stokes）方程，是动量守恒定律的数学表达式。不可压黏性流体动量方程的微分方程用张量形式可以写成：

3.雷诺时均方程

湍流是一种复杂的三维非稳态不规则流动^[33，34]。从物理结构上可以将湍流流动^[35]看成是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的流动；这些涡旋可分为大尺度涡和小尺度涡，大尺度涡是引起低频脉动的原因，由流动的边界条件决定，它不断地从主流获得能量并通过涡间的相互作用将能量传递给小尺度涡；小尺度涡是引起高频脉动的原因，主要由黏性力决定的，小尺度涡不断地从大尺度涡中得到能量并在黏性作用下不断地消失而将能量耗散掉。

虽然N-S方程组可以描述湍流的运动，但由于湍流流场中时间及空间特征尺度之间的巨大差异，使得我们在实际的工程流动中很难通过直接求解N-S方程来解决问题，当前工程上一般采用雷诺时均方程进行求解。雷诺时均方程是由N-S方程经过时均化处理后得到的，其张量表达式如下：

式中，u_i′为速度脉动量。

对于定常、不可压流动，上述方程可以写成下列形式：