样条插值曲线控制顶点的反算方法

B样条插值方案对于几何形状优化设计有其实际的意义。通过大致给出几何形状上的一些点，反算出B样条曲线上的控制点，这些算出的控制点作为设计的初始控制点，要比直接给出不位于曲线上的控制点更加符合设计者的意愿。下面将介绍控制点反求过程[57]。

1.节点矢量的确定

对于m+1个数据点（型值点）q_i（i=0，1，…，m），在构造一条首尾不重合的三次B样条曲线时，该曲线将包含m段。该三次B样条插值曲线将会有n+1个控制顶点d_j（j=0，1，…，n），其中n=m+2。节点矢量为U=[u₀，u₁，…，u_n+k+1]。为了几何形状在端点处位置不变且便于控制，使得u₀=u₁=u₂=u₃=0，u_n+1=u_n+2=un+3=un+2=1。对数据点q_i（i=0，1，…，m）取规范积累弦长的参数化确定参数序列u^_i（i=0，1，…，m），相应也得到u_3+i=u^_i（i=0，1，…，m），这样节点矢量全部得到。

2.反求控制点(www.xing528.com)

对于三次B样条插值曲线而言，将定义域u∈[u_i，u_i+1]⊂[u₃，u_n+1]内的节点值依次带入到该曲线方程中，满足如下的插值条件

式（9⁃4）的线性方程组可以改写成如下的矩阵形式

式中系数矩阵中的元素为B样条基函数的值，与节点有关，式子右边是已知的型值点，这样控制点可采用数学中的高斯消元法求得。