B样条曲线局部性质分析

式（9⁃2）表明，欲确定第i个k次B样条N_i，k（u）需要用到u_i，u_i+1，…，u_i+k+1共计k+2个节点，区间[u_i，u_i+k+1]称之为N_i，k（u）的支撑区间，支撑区间的左端节点的下标与该B样条的次数k无关，但支撑区间的右端节点的下标与次数k有关，这也说明支撑区间中的节点区间数与次数k有关，包括零长度的区间。k次B样条的支撑区间中含有k+1个节点区间，这样在参数t轴上任一点t∈[u_i，u_i+1]处，最多有k+1个非零的k+1次样条基函数N_j，k（u）（j=i^-k，i-k+1，…，i），其他的在该处均等于零，这样对于定义在u∈[u_i，u_i+1]上的一段B样条曲线，可以表示为：

这个式子从一个方面表明了B样条曲线的局部性质，即k次B样条曲线上的一点P（u）（u∈[u_i，u_i+1]）最多与k+1个控制顶点d_j（j=i-k，i-k+1，…，i）有关，与其他顶点无关，这也是有别于Bezier曲线除了两个端点外其余各点都与控制顶点有关。

B样条曲线的局部特性对于几何形状的优化有非常重要的作用，因为移动几何形状上的第i个控制点只会影响定义在u∈[u_i，u_i+1]上的一段曲线，而其他部分不受影响，这样在优化过程中可以极大的增加搜索能力，提高搜索效率。(www.xing528.com)

局部性是B样条曲线优于Bezier曲线的重要性质之一，另外B样条曲线还有一些也非常适用于几何参数化设计的性质，如：①参数的连续性；②比Bezier曲线更强的凸包性；③变差减少性质；④几何不变性与放射不变性；⑤重节点对B样条的影响，零节点即节点区间的长度等于零的情况，其中当定义域端节点是k重节点时，k次B样条曲线的端点与控制多边形的端点相重，且在端点处于控制多边行相切，这个性质可以很好地应用于几何的端点处理。