逻辑代数基本公式与定律

逻辑代数是研究逻辑电路的数学工具，它为分析和设计逻辑电路提供了方便。根据3种基本逻辑运算，可推导一些基本公式和定律，形成一些运算规则。掌握并熟练运用这些规则，对于逻辑电路的分析和设计十分重要。

1.逻辑代数的基本公式

（1）常量和常量之间的关系：

0·0=0　　　0·1=0　　1·1=1

0+0=0　　　0+1=1　　1+1=1

（2）变量和常量之间的关系：

A+0=A　A·1=A

A+1=1　A·0=0

（3）与普通代数相似的定律：

交换律　A+B=B+A

A·B=B·A

结合律　（A+B）+C=A+（B+C）=（A+C）+B

(A·B)·C=A·(B·C)=(A·C)·B

分配律　A·（B+C）=AB+AC

A+B·C=(A+B)·(A+C)

（4）逻辑代数的一些特殊定理：

重叠律　A+A=A

A·A=A

反演律[德·摩根（DeMorgan）定理]

还原律

（5）一些常用公式：(www.xing528.com)

这个公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，那么这个因子就是多余的。

公式四和公式五说明，若两个乘积项中一项包含了原变量A，另一项包含了反变量，而这两项的其余因子又构成了第三个乘积项，或者构成了第三个乘积项的因子，则第三个乘积项可消去。

2.逻辑代数的3个法则

（1）代入法则。

在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都代入相同逻辑函数，则等式仍然成立，这个规律称为代入规则。

例如，已知等式，若用Y=A+C代替等式中的A，根据代入规则等式仍然成立，即

可见，利用代入规则可以扩大上述公式的应用范围。

（2）反演规则。

对任何一个逻辑函数Y，只要把式中所有的“· ”换为“+”、“+”换为“· ”、“0”换为“1”、“1”换为“0”，原变量换为反变量、反变量换为原变量，所得到的新函数即为原函数的反函数，这个规则称为反演规则。

【例8-3】求Y1和Y2的反函数。

①

②

解：按反演规则可直接写出Y1和Y2的反函数

在反演过程中，注意遵守两个原则：① 对不是一个变量的非号应保持不变。② 运算先后次序不变。

（3）对偶规则。

对任何一个逻辑函数表达式，如将式中的“· ”换为“+”、“+”换为“· ”、“0”换为“1”、“1”换为“0”，所得到的逻辑函数式是原来逻辑函数式的对偶式，记作F′。 对偶规则：若两个逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等。

【例8-4】求的对偶式。

解：

利用对偶规则可以减少公式的证明。例如，分配律为A（B+C）=AB+AC，求这一公式两边的对偶式，则有分配律A+BC=（A+B）（A+C）也成立。

由此可见，利用对偶定理，可以使证明和记忆的公式数目减少一半。