普朗克的黑体辐射定律探析

马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似公式。19世纪末，人们用经典物理学解释黑体辐射实验的时候，出现了著名的所谓“紫外灾难”。瑞利（1842—1919）和金斯J.H.（1877—1946）提出了一个瑞利-金斯公式。维恩提出了另外一个维恩公式。但是和实验相比，维恩近似公式在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大，而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克从1896年开始对此问题的矛盾性产生了兴趣，并开始对热辐射进行了系统的研究。他经过几年艰苦努力，凭借其强大的数学功力，终于在1900年凑出了一个和实验相符的公式。这个公式把瑞利-金斯公式与维恩公式很好地统一起来了，这个公式在全波段范围内都和实验结果符合得相当好，成功解决了“紫灾”和“红灾”问题。这个公式就是所谓的普朗克黑体辐射定律。

1900年，普朗克用量子论的概念推导出了黑体的热辐射定律，该定律指出黑体的单色辐射通量密度（单色辐射出射度）与其温度、辐射波长的关系如下：

式中　Mλ为单色辐射通量密度（W/m3）；

h为普朗克常数（h=6.626×10-34J·s）；

k为波耳兹曼常数（k=1.38×10-23J/K）；

λ为波长（m）；

c为光速（c=3×108m/s）；

T为黑体的绝对温度（K）。

上述公式表明，黑体的辐射出射度不仅与温度T有关，与辐射能量的波长λ也有关。以T为固定变量、λ为自由变量，可在直角平面坐标系中绘出Mλ与T、λ的关系曲线（图2-3），该曲线也叫作黑体的波谱辐射曲线图。

黑体辐射的波谱曲线图，有以下的三个特性。而这三个特性分别对应斯特藩-玻尔兹曼定律、维恩位移定律和瑞利-金斯公式。

（1）随着温度的增大，其每一条曲线与x轴围成的面积都会迅速增大。即：不同温度黑体的总辐射通量密度M的大小随温度T的增加是按四次方增加的。这就是斯特藩-玻尔兹曼定律。

按照数学术语表示，总辐射通量密度M对应的是λ从0到+∞，对Mλ进行积分：

代入上式得：

计算后面的广义积分，可得近似值，即，于是M（T）＝δT4，而δ＝。

（2）单色辐射出射度的峰值对应的波长λmax随温度的增加而向短波方向移动。对普朗克公式进行微分，并令其等于0，可以求出最大值的位置：

化简，得

进一步化简，可得

这个方程是一个超越方程，在解法上需要一点技巧。我们可以用图解法进行求解。将上式改写为

分别作y＝5-x直线，和曲线，其交点就是方程的解。求解得x=4.956。即，所以。

维恩位移定律表明辐射的峰值的波长大小λmax与黑体的温度成反比，即温度愈高，λmax愈小。由图2-3可看出，黑体的单色辐射通量密度一方面随温度的增高，其峰值在增大，同时，其峰值所对应的横坐标λmax的数值在逐渐减小，即向短波方向移动。

（3）每根曲线彼此不相交。故温度越高，所有波长上的单色辐射出射度Mλ也越大，即Mλ随T的增大而增大。该特性表明：不同温度的黑体，在任何波段处的辐射通量密度Mλ是不同的；由于不同温度的黑体间的Mλ不同，在分波段记录的通感图像上它们是可区别的。

另外，在微波波段，黑体的单色辐射出射度Mλ已经很小，将普朗克公式中的波长用频率代替可得：

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在波长大于1 mm的微波波段上，由于hν远远小于kT，展开为无穷幂级数形式，并舍去后面的项，可近似得到：

把上式代入原式，得：

此式就是瑞利-金斯公式。该公式表明，在微波波段，黑体辐射的单色辐射出射度与温度T成正比，与波长的四次方成反比。这就是说，瑞利-金斯公式是普朗克公式在微波波段的简化形式。

马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858年4月23日—1947年10月4日），出生于德国荷尔施泰因，德国著名物理学家、量子力学的重要创始人之一。

普朗克和爱因斯坦并称为20世纪最重要的两大物理学家。他因发现能量量子化而对物理学的又一次飞跃做出了重要贡献。

1874年，普朗克进入慕尼黑大学攻读数学专业，后改读物理学专业。1877年他转入柏林大学，曾聆听亥姆霍兹和基尔霍夫教授的讲课。1879年普朗克获得博士学位。1930年至1937年他任德国威廉皇家学会的会长，该学会后为纪念普朗克而改名为马克斯·普朗克学会。

从博士论文开始，普朗克一直关注并研究热力学第二定律，发表诸多论文。大约从1894年起，普朗克开始研究黑体辐射问题，发现普朗克黑体辐射定律，并在论证过程中提出能量子概念和常数h（后称为普朗克常数），成为此后微观物理学中最基本的概念和极为重要的常数。1900年12月14日，普朗克在德国物理学会上报告这一结果，这成为量子论诞生和新物理学革命宣告开始的伟大时刻。由于这一发现，普朗克获得了1918年诺贝尔物理学奖。

马克斯·普朗克出生在一个受到良好教育的传统家庭，他的曾祖父戈特利布·雅各布·普朗克（Gottlieb Jakob Planck，1751年—1833年）和祖父海因里希·路德维希·普朗克（Heinrich Ludwig Planck，1785年—1831年）都是哥廷根的神学教授，他的父亲威廉·约翰·尤利乌斯·普朗克（Wilhelm Johann Julius Planck，1817年—1900年）是基尔和慕尼黑的法学教授，他的叔叔戈特利布·普朗克（Gottlieb Planck，1824年—1907年）也是哥廷根的法学家和德国民法典的重要创立者之一。

马克斯·普朗克是父亲与第二任妻子埃玛·帕齐希所生。普朗克在基尔度过了他童年最初的几年时光，直到1867年全家搬去了慕尼黑。普朗克在慕尼黑的马克西米利安文理中学（Maximiliansgymnasium）读书，并在那里受到数学家奥斯卡·冯·米勒（Oskar von Miller）（后来成为了德意志博物馆的创始人）的启发，引发自己对数理方面的兴趣。米勒也教他天文学、力学和数学，从米勒那里普朗克也学到了生平第一个原理——能量守恒原理。

普朗克十分具有音乐天赋，他会钢琴、管风琴和大提琴，还上过演唱课，曾在慕尼黑学生学者歌唱协会（Akademischer Gesangverein Munchen）为多首歌曲和一部轻歌剧（1876年）作曲。但是普朗克并没有选择音乐作为他的大学专业，而是决定学习物理。慕尼黑的物理学教授菲利普·冯·约利（Philipp von Jolly，1809年—1884年）曾劝说普朗克不要学习物理，他认为“这门科学中的一切都已经被研究了，只有一些不重要的空白需要被填补”。这也是当时许多物理学家所坚持的观点，但是普朗克回复道：“我并不期望发现新大陆，只希望理解已经存在的物理学基础，或许能将其加深。”普朗克1874年在慕尼黑开始了他的物理学学业。普朗克整个科学事业中仅有的几次实验是在约利手下完成的，如研究氢气加热后在铂中的扩散，但是普朗克很快就把研究转向了理论物理学。

1877年—1878年，普朗克转学到柏林，在著名物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹和古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫以及数学家卡尔·维尔斯特拉斯手下学习。关于亥姆霍兹，普朗克曾这样写道：“他上课前从来不好好准备，讲课时断时续，经常出现计算错误，让学生觉得他上课很无聊。”而关于基尔霍夫，普朗克写道：“他讲课仔细，但是单调乏味。”即便如此，普朗克还是很快与亥姆霍兹建立了真挚的友谊。普朗克主要从鲁道夫·克劳修斯的讲义中自学，并受到这位热力学奠基人的重要影响，热学理论成为了普朗克的工作领域。

1878年10月，普朗克在慕尼黑完成了教师资格考试。1879年2月，他递交了他的博士论文《论热力学第二定律》。1880年6月，普朗克以论文《各向同性物质在不同温度下的平衡态》获得大学任教资格。1887年3月，普朗克与一个慕尼黑中学同学的妹妹玛丽·梅尔克（Marie Merck，1861年—1909年）结婚，婚后生活在基尔，共有4个孩子。在普朗克前往柏林工作后，全家住在柏林的一栋别墅中，与不计其数的柏林大学教授们为邻，普朗克的庄园发展成了一个社交和音乐中心，许多知名的科学家如阿尔伯特·爱因斯坦、奥托·哈恩和莉泽·迈特纳等都是普朗克家的常客，这种在家中演奏音乐的传统来自于亥姆霍兹家。在度过了多年幸福的生活后，普朗克遇到了接踵而至的不幸。1909年10月17日，普朗克的妻子因结核病去世。1911年3月，普朗克与他的第二任妻子玛格丽特·冯·赫斯林结婚，12月，普朗克的第三个儿子赫尔曼（Herrmann）降生。

第一次世界大战期间，普朗克的大儿子卡尔死于凡尔登战役，二儿子埃尔温在1914年被法军俘虏，1917年女儿格雷特在产下第一个孩子时去世，她的丈夫娶了普朗克的另一个女儿埃玛，不幸的是埃玛在两年后同样死于生产。1945年1月23日，普朗克的二儿子埃尔温·普朗克因参与暗杀希特勒未遂而被纳粹杀害。

普朗克本人是一个不情愿的革命者。其成就的深远影响在经过多年以后才得到普遍公认，爱因斯坦对此起了最为重要的作用。自20世纪20年代以来，普朗克成为德国科学界的中心人物。他的公正、正直和学识，使他在德国受到普遍尊敬，具有决定性的权威。纳粹政权统治下，他反对种族灭绝政策，并坚持留在德国尽力保护各国科学家和德国的物理学家。为此，他承受了巨大的家庭悲剧和痛苦。他凭借坚忍的自制力一直活到89岁。

获得大学任教资格后，普朗克在慕尼黑并没有得到专业界的重视，但他继续他在热理论领域的工作，提出了热动力学公式，却没有发觉这一公式在此前已由约西亚·威拉德·吉布斯提出过。鲁道夫·克劳修斯所提出的“熵”的概念在普朗克的工作中处于中心位置。1885年4月，基尔大学聘请普朗克担任理论物理学教授，年薪约2000马克，普朗克继续他对熵及其应用的研究，主要解决物理化学方面的问题，为阿累尼乌斯的电解质电离理论提供了热力学解释，但却是矛盾的。

在基尔这段时间，普朗克已经开始了对原子假说的深入研究。1897年，哥廷根大学哲学系授奖给普朗克的专著《能量守恒原理》（Das Prinzip der Erhaltung der Energie，1897年）。1889年4月，亥姆霍兹通知普朗克前往柏林，接手基尔霍夫的工作，1892年普朗克接手教职，年薪约6200马克。1894年，普朗克被选为普鲁士科学院（Preußische Akademie der Wissenschaften）的院士。1907年维也纳曾邀请普朗克前去接替路德维希·玻耳兹曼的教职，但他没有接受，而是留在了柏林，受到了柏林大学学生会的火炬游行队伍的感谢。1926年10月1日普朗克退休，他的继任者是薛定谔。

普朗克早期的研究领域主要是热力学。他的博士论文就是《论热力学第二定律》。此后，他从热力学的观点对物质的聚集态的变化、气体与溶液理论等进行了研究。普朗克在物理学上最主要的成就是提出了著名的普朗克辐射公式，创立了能量子概念。

19世纪末，人们用经典物理学解释黑体辐射实验的时候，出现了著名的所谓“紫外灾难”。虽然瑞利（1842年—1919年）、金斯·J.H.（1877年—1946年）和维恩（1864年—1928年）分别提出了两个公式，企图弄清黑体辐射的规律，但是和实验相比，瑞利-金斯公式只在低频范围符合，而维恩公式（维恩位移定律）只在高频范围符合。普朗克从1896年开始对热辐射进行了系统的研究。他经过几年艰苦努力，终于导出了一个和实验相符的公式。

他于1900年10月下旬在《德国物理学会通报》上发表了一篇只有三页纸的论文，题目是《论维恩光谱方程的完善》，第一次提出了黑体辐射公式。同年12月14日，在德国物理学会的例会上，普朗克作了《论正常光谱中的能量分布》的报告。在这个报告中，他激动地阐述了自己最惊人的发现。他说，为了从理论上得出正确的辐射公式，必须假定物质辐射（或吸收）的能量不是连续地而是一份一份地进行的，而且只能取某个最小数值的整数倍。这个最小数值就叫能量子，辐射频率是ν的能量的最小数值ε＝hν。其中的h，普朗克当时把它叫作基本作用量子，后来被命名为普朗克常数，它标志着物理学从“经典物理学”变成“量子物理学”。

1906年普朗克在《热辐射讲义》一书中，系统地总结了他的工作，为开辟探索微观物质运动规律新途径提供了重要的基础。1926年，普朗克被推举为英国皇家学会的最高级名誉会员，美国选他为物理学会的名誉会长。1930年，普朗克被德国科学研究的最高机构威廉皇家促进科学协会选为会长。普朗克的墓在哥廷根市公墓内，其标志是一块简单的矩形石碑，上面只刻着他的名字，下角写着：尔格·秒。他的墓志铭就是一行字：h=6.63×10-34J·s，这也是对他毕生最大贡献——提出量子假说的肯定。

普朗克的另一个鲜为人知的伟大贡献是推导出玻尔兹曼常数k。他沿着玻尔兹曼的思路进行更深入的研究得出玻尔兹曼常数后，为了向他一直尊崇的波尔兹曼教授表示尊重，建议将k命名为玻尔兹曼常数。普朗克的一生推导出现代物理学最重要的两个常数k和h，是当之无愧的伟大物理学家。

在宏观领域中，一切物理量的变化都可看作连续的。例如，一个物体所带的电荷是e的极大倍数。所以一个一个电子的跳跃式增减可视为连续的变化。但在微观领域中的离子，所带电荷只有一个或几个e，那么，一个一个电子的变化就不能看作连续的了。

普朗克在1900年提出了“量子化”的概念。像这样以某种最小单位作跳跃式增减的，就称这个物理量是量子化的。普朗克最大的贡献就是提出了能量量子化，其主要内容是：

黑体是由以不同频率作简谐振动的振子组成的，其中电磁波的吸收和发射不是连续的，而是以一种最小的能量单位ε为最基本单位而变化着的，理论计算结果才能跟实验事实相符，这样的一份能量ε，叫作能量子。其中ν是辐射电磁波的频率，h=6.625 59×10-34J·s，即普朗克常数。也就是说，振子的每一个可能的状态以及各个可能状态之间的能量差必定是hν的整数倍。

受他的启发，爱因斯坦于1905年提出，在空间传播的光也不是连续的，而是一份一份的，每一份叫一个光量子，简称光子。光子的能量E跟跟光的频率v成正比，即E hν＝。这个学说以后就叫光量子假说。光子说还认为每一个光子的能量只取决于光子的频率，例如蓝光的频率比红光高，所以蓝光的光子的能量比红光子的能量大，同样颜色的光，强弱的不同则反映了单位时间内射到单位面积的光子数的多少。

普朗克黑体辐射定律：大约是在1894年，普朗克开始把心力全部放在研究黑体辐射的问题上，他曾经委托过电力公司制造能消耗最少能量，但能产生最多光能的灯泡，这一问题也曾在1859年被基尔霍夫所提出——黑体在热力学平衡下的电磁辐射功率与辐射频率和黑体温度的关系。帝国物理技术学院（Physikalisch-Technischer Reichsanstalt）对这个问题进行了实验研究，但是经典物理学的瑞利-金斯公式无法解释高频下的测量结果，这个定律却也创造了日后的“紫外灾难”。后来，威廉·维恩给出了维恩位移定律，可以正确反映高频下的结果，但却又无法符合低频率下的结果。这些定律之所以能发起有一小部分是普朗克的贡献，但大多数的教科书却都没有提到他。普朗克在1899年就率先提出解决此问题的方法，叫作“基础无序原理”（principle of elementary disorder），并把瑞利-金斯定律和维恩位移定律这两条定律使用一种熵列式进行内插，由此发现了普朗克辐射定律，可以很好地描述测量结果，不久后，人们发现他的这项新理论是没有实验证据的，这也让普朗克在当时感到无奈。可是他并没有因此而气馁，反而修正了自己的方式，最后成功地推导出著名的第一版普朗克黑体辐射定律，此定律在描述由实验观察来的黑体辐射光谱时呈现良好的状态，这一定律于1900年10月19日在德国物理学会上首次提出。也因为普朗克黑体辐射定律是第一个不包括能源量化以及统计力学的推论，因为他本人不喜欢这个理论。

不久后的1900年12月14日，普朗克得出了辐射定律的理论推论，其中他使用了此前曾被他所否定的奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼的统计力学，热力学第二定律的每个纯统计学观点都让普朗克感到厌恶。普朗克于会议上提出了能量量子化的假说：其中E是能量，ν是频率，并引入了一个重要的物理常数h——普朗克常数，能量只能以不可分的能量元素（即量子）的形式向外辐射。这样的假说调和了利用经典物理学理论研究热辐射规律时遇到的矛盾。基于这样的假设，他给出了黑体辐射的普朗克公式，圆满地解释了实验现象。这个成就揭开了量子论与量子力学的序幕，因此12月14日成了量子纪念日。普朗克也因此获得1918年诺贝尔物理学奖。尽管在后来的时间里，普朗克一直试图将自己的理论纳入经典物理学的框架之下，但他仍被视为近代物理学的开拓者之一。不过在当时，这一假说与玻尔兹曼的理论相比，可谓无足轻重。“一个纯公式的假说，我其实并没有为此思考很多（eine rein formale Annahme，ich dachte mir eigentlich nicht vieldabei.）。”如今这个与经典物理学相悖的假说却被当作量子物理学诞生的标志和普朗克最大的科学成就。需要提及的是，玻尔兹曼于先前的大约1877年已经将一个物理学系统的能量级可以是不连续的作为其理论研究的前提条件。在接下来的时间里，普朗克试图找到能量子的意义，但是毫无结果，他曾写道：“我的那些试图将普朗克常数归入经典理论的尝试是徒劳的，却花费了我多年的时间和精力。其他物理学家如瑞利、金斯和亨德里克·洛伦兹在几年后仍将普朗克常数设为零，以便其不与经典物理学相悖，但是普朗克十分清楚，普朗克常数是一个不等于零的确切数值。