临界应力的经验公式与总图分析

在工程实际中,常见压杆的柔度λ往往小于λp,即λ＜λp,这样的压杆其横截面上的应力已超过材料的比例极限,属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得,但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等,这里仅介绍直线公式。把临界应力σcr与柔度λ表示为下列直线关系,称为直线公式

式中:a和b是与材料有关的常数,单位均为MPa。

表10.2中列举了几种材料的a和b。

表10.2　直线公式的系数a和b

柔度很小的短柱,如压缩试验用的金属短柱或水泥块,受压时并不会像大柔度杆那样出现弯曲变形,主要是因压应力到达屈服极限(塑性材料)或强度极限(脆性材料)而破坏,是强度不足引起的失效。所以,对塑性材料,按式(10.10)算出的临界应力最高只能等于σs,设与σs对应的屈服极限柔度为λs,则由式(10.10)可得

式(10.11)是使用式(10.10)时柔度的最小值。

以Q235钢为例,由表10.2查得,a=304 MPa,b=1.12 MPa,σs=235 MPa,将它们代入式(10.11),得

可见,对于由Q235制成的压杆,当61.6＜λ＜100时,可用直线公式(10.10)计算其临界应力。

若压杆柔度λ≤λs,应按照第2章压缩强度计算,要求

综上所述,压杆按其柔度值可以分为3类:

(1)当λ≥λp时,压杆被称为大柔度杆或细长杆,其σcr、Pcr用欧拉公式计算;

(2)当λs＜λ＜λp时,压杆被称为中柔度杆或中长杆,其σcr、Pcr用直线公式计算;(www.xing528.com)

(3)当λ≤λs时,压杆被称为小柔度杆或粗短杆,属于压缩强度问题。

将以上各类压杆的临界应力σcr和λ的关系绘制成关系图,即临界应力总图,如图10.4所示。

图10.4　临界应力总图

必须指出:小柔度杆的临界应力σcr与λ无关,说明小柔度杆不存在压杆失稳问题,而属于第2章中轴向压缩的强度问题。中、大柔度杆的临界应力σcr则与λ有关,且随λ的增加而减小,故只有中、大柔度杆才存在压杆稳定性问题。

【例10.2】矩形截面压杆的支承情况为:在xOz平面内,两端固定,如图10.5(a)所示;在xOy平面内,下端固定,上端自由,如图10.5(b)所示。已知l=3 m,b=0.1m,材料的弹性模量E=200 GPa,比例极限σp=200 MPa。试计算该压杆的临界压力。

图10.5　例10.2图

【解】(1)判断失稳方向。

由于杆的上端在两个平面内的支承情况不同,所以压杆在两个平面内柔度也不同,压杆将首先在柔度λ值最大的平面内失稳。

在xOz面内,y轴为中性轴,则

在xOy面内,z轴为中性轴,则

因λz＞λp,故该压杆为大柔度杆,且知μz=2,将相关数据代入欧拉公式求临界压力