两端铰支细长压杆临界压力优化

二维码

如图10.2所示,一两端铰支且轴线为直线的压杆,在轴向压力P作用下处于微弯平衡状态。上节指出,当压力达到临界值时,压杆将由直线平衡形态转变为曲线平衡形态。可见,临界压力就是使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。

为便于研究,选取xOy坐标系,由图10.2可知,压杆x截面的弯矩为

式(b)为二阶常微分方程,其通解为

式中:A、B为积分常数,可由位移边界条件来确定。

压杆的边界条件是

由此求得

上式表明,A或者sin kl等于0。但因B已经等于0,如A再等于0,则式(c)变为y≡0。这表示杆件轴线上任意点的挠度皆为0,它仍为直线的情况。这就与假设杆件处于微弯平衡的前提相矛盾。因此必须是

因为n有不同取值,故式(10.1)表明使杆件保持为曲线平衡的压力,理论上是多值的。其中使压杆保持微小弯曲的最小压力,才是临界压力Pcr。这样,只有取n=1,才得到压力的最小值。于是临界压力为(www.xing528.com)

上式通常称为细长压杆临界压力的欧拉公式,该载荷又称为欧拉临界压力。由式(10.2)可以看出,两端铰支细长压杆的临界压力与截面弯曲刚度成正比,与杆长的平方成反比。要注意的是,如果压杆两端为球形铰支,则式(10.2)中的惯性矩I应为压杆横截面的最小惯性矩。

图10.2　两端铰支细长压杆

不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式,可通过类似的方法通道得到,表10.1给出了几种典型的理想支撑约束条件下,细长中心受压直杆的欧拉公式表达式。

表10.1　几种支承情况下等截面细长压杆的临界压力公式

由表10.1可以看出,细长直杆的临界压力受到杆端约束的影响。杆端约束越强,杆的抗弯能力就越大,其临界压力也就越高。对于各种杆端约束情况,细长压杆临界压力的欧拉公式可以写成统一的形式

式中:μ称为长度系数,μl称为压杆的相当长度或有效长度,其取值见表10.1。

【例10.1】如图10.3所示,矩形截面细长压杆上端自由、下端固定。已知b=2 cm,h=4 cm,l=1 m,材料的弹性模量E=200 GPa,试用欧拉公式计算压杆的临界压力。

图10.3　例10.1图