常用强度理论解析：了解4种不同看法

1.第一强度理论(最大拉应力理论)

第一强度理论认为最大拉应力是引起材料断裂的最主要因素,即认为无论材料处于何种应力状态,只要材料发生脆性断裂,其共同原因都是材料的最大拉应力达到了与材料性能有关的某一极限值。

因为最大拉应力的极限值与材料应力状态无关,所以这一极限值可用单向应力状态下的试验来确定。脆性材料(如铸铁)单向拉伸试验表明,当横截面上的正应力σ=σb时发生脆性断裂。对于单向拉伸,横截面上的正应力,就是材料的最大拉应力,即σmax=σb。

于是,根据这一理论,无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到σb,材料就将发生脆性断裂。由此可得脆性断裂准则

将极限应力σb除以安全系数,得许用应力[σ]。所以,按第一强度理论建立的强度条件是

试验表明这一理论与均质的脆性材料(如玻璃、石膏以及某些陶瓷等)的试验结果吻合较好。但是这一理论没有考虑其他两个主应力对断裂破坏的影响,而且当材料处于压应力的状态下也无法应用。

2.第二强度理论(最大拉应变理论)

第二强度理论认为最大伸长线应变是引起材料断裂的最主要因素,即认为无论材料处于何种应力状态,只要材料发生脆性断裂,其共同原因都是材料的最大拉应变达到了与材料性能有关的某一极限值。

因为ε1的极限值与材料应力状态无关,所以这一极限值可用单向拉伸断裂时的最大拉应变来确定。同时,假定脆性材料从受力到断裂仍然服从胡克定律。由前述可知,单向拉伸时材料的最大拉应力σmax=σb,因此材料单向拉伸断裂时的最大拉应变的极限值ε0=σb/E。于是,根据这一理论,无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应变达到ε0,材料就将发生断裂。由此可得脆性断裂准则

将广义胡克定律式(8.8)第一式代入上式,可得

将极限应力σb除以安全系数,得许用应力[σ]。所以,按第二强度理论建立的强度条件是

试验表明,这一理论能较好解释石料、混凝土等脆性材料在压缩时沿纵向开裂的破坏现象。一般来说,最大拉应力理论适用于脆性材料以拉应力为主的情况,而最大拉应变理论适用于压应力为主的情况。

3.第三强度理论(最大切应力理论)

第三强度理论认为最大切应力是引起塑性材料屈服的主要因素,即认为无论材料处于何种应力状态,只要材料发生塑性屈服,其共同原因都是材料的最大切应力达到了与材料性能有关的某一极限值。

因为最大切应力的极限值与材料应力状态无关,所以这一极限值可用单向应力状态下的试验来确定。由单向拉伸试验可知,材料发生塑性屈服时,横截面上正应力为σs,同时与轴线成45°的斜截面上的最大切应力为max=σs/2。可见,σs/2就是导致材料屈服的最大切应力的极限值,即s=σs/2。

根据这一理论,无论材料处于什么应力状态,只要max=σs/2,材料即发生屈服。由此可得材料的塑性屈服条件为

由式(8.7)且s=σs/2,得材料塑性屈服条件为

将极限应力σs除以安全系数,得许用应力[σ]。所以,按第三强度理论建立的强度条件是

试验表明这一理论比较圆满地解决了塑性屈服现象。例如,低碳钢拉伸时沿与轴线成45°的方向出现滑移线,这是材料内部沿这一方向相对滑移的痕迹,而沿这一方向的斜截面上切应力也恰好为最大值。这一理论的缺陷是忽略了主应力σ2的影响。在二向应力状态下,与试验结果相比,这一理论偏于安全。

4.第四强度理论(形状改变比能理论也称畸变能理论)

第四强度理论认为畸变能密度是引起材料屈服的最主要因素,即认为无论材料处于何种应力状态,只要材料发生塑性屈服,其共同原因都是材料的畸变能密度达到了与材料性能有关的某一极限值。

因为畸变能密度的极限值与材料应力状态无关,所以这一极限值可用单向应力状态下的试验来确定。由单向拉伸实验可知,材料发生塑性屈服时,σ1=σs,σ2=σ3=0,这时的畸变能密度就是材料发生塑性屈服时极限值,根据式(8.16)有

按照这一理论,材料发生塑性屈服的条件为

将式(8.19)和式(8.20)代入式(8.21),化简得材料塑性屈服条件

将极限应力σs除以安全系数,得许用应力[σ]。所以,按第四强度理论建立的强度条件是

在平面应力状态下,这一理论较第三强度理论更符合试验结果。试验表明,这一强度理论与碳素钢和合金钢等韧性材料的塑性屈服试验结果吻合得相当好。大量试验还表明,这一强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程韧性材料的屈服状态。

由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定,因而较多地采用偏于安全的第三强度理论的载;荷土往建往行较业为稳定,因而较多地采用第四强度理论。

在工程实际中,如何选用强度理论是个复杂的问题。一般来说,铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料通常以断裂的方式失效,宜采用第一和第二强度理论;碳、钢、铝、铜等塑性材料通常以屈服的方式失效,宜采用第三和第四强度理论。

从式(8.17)~式(8.22)的形式来看,可以把这4个强度理论所建立的强度条件写成以下统一形式(www.xing528.com)

式中:σri称为相当应力,是构件危险点处3个主应力按一定形式的组合。

从式(8.23)的形式上来看,这种主应力的组合σri和单向拉伸时拉应力在安全程度上是相当的。按照式(8.17)~式(8.22)顺序,相当应力分别为

【例8.7】试分析Q235钢材在纯剪切应力状态(见图8.12)下的剪切屈服极限s与拉压屈服极限σs之间的关系。

图8.12　例8.7图

【解】由图8.12可知σx=σy=0,xy=,代入式(8.4),可得纯剪切应力状态下的3个主应力分别为

Q235钢在纯剪切应力状态下发生屈服时,即=s时,则有

代入第三强度理论的塑性屈服条件,得

即s=0.5σs。

若应用第四强度理论的塑性屈服条件,则可得

即s=σs/3≈0.577σs。

因此,一些规范对于拉、压屈服极限相同的塑性材料,其许用切应力[]通常取为许用拉应力[σ]的(0.5~0.577)倍。

【例8.8】图8.13(a)所示摇臂,用Q235钢制成。已知载荷F=3.6 kN,横截面B的高度h=30 mm,翼缘宽度b=20 mm,腹板与翼缘的厚度分别为δ1=2 mm与δ=4 mm,截面的惯性矩Iz=29 028 mm4,抗弯截面系数Wz=1 935.2 mm3,截面A与B的间距l=60 mm,许用应力[σ]=160 MPa。试按第四强度理论校核截面B的强度。

图8.13　例8.8图

【解】(1)问题分析。

由受力情况可知,图示摇臂AB段可看成悬臂梁,发生平面弯曲变形,横截面B的剪力与弯矩分别为

可知,该截面上同时存在弯曲正应力与弯曲切应力。在截面的上、下边缘,弯曲正应力最大;在中性轴处,弯曲切应力最大;在腹板与翼缘的交界处,弯曲正应力与弯曲切应力均较大。因此,应对这3处进行强度校核。

(2)最大弯曲正应力与最大弯曲切应力作用处的强度校核。

最大弯曲正应力为

最大弯曲切应力为

由于最大弯曲切应力的作用点处于纯剪切状态,由【例8.7】可知,对应第四强度理论得Q235钢相应许用切应力为

(3)在腹板与翼缘的交界处的强度校核。

在腹板与翼缘的交界处,弯曲正应力为

该点处的弯曲切应力为

可见,交界处具有大小相当的正应力和切应力,其应力状态如图8.13(c)所示,由公式(8.4)可求得该点处的主应力为

代入第四强度理论的强度条件,并整理得

上述计算表明,该摇臂满足第四强度理论要求。同时,上述计算还表明,在短而高的薄壁截面梁内,与弯曲正应力相比,弯曲切应力也可能相当大。在这种情况下,除对最大弯曲正应力的作用处进行强度校核,对于最大弯曲切应力的作用处,以及腹板与翼缘的交界处,也应进行强度校核。