使用变形比较法求解超静定梁

由于超静定梁的未知力个数超过静力平衡方程的个数,因此与求解轴向拉压超静定问题相似,为了确定超静定梁的全部约束反力,除应建立静力平衡方程外,还需要利用梁在多余约束处的变形协调条件,以及力与变形间的物理关系建立补充方程,补充方程的数目与超静定次数相等。

变形比较法是指首先解除原超静定梁中的多余约束,并加上多余约束反力,由此得到与原超静定梁对应的静定基(也称为基本静定梁),并使原超静定梁与对应的静定基(即基本静定梁)二者的受力与变形相同,进而解出多余约束反力,即求解了超静定梁问题,而后续的其他问题均已转化成静定基的静定问题了。

注意:上述原超静定梁中的多余约束中的“多余”是相对而言的,即在具体问题中可能有多种可能静定基方案,即有多种解法。

【引例】以图7.13(a)所示的一次超静定梁为例加以说明。

以支座B为多余约束,设想将它去掉,用多余约束反力FBy(↑)来代替,即得到受均布载荷q和多余约束反力FBy共同作用的静定悬臂梁,即为原超静定梁的静定基(方案1),如图7.13(b)所示。

以固定端A为多余约束,设想将固定端A换成固定铰支座A,并用多余约束反力偶mA()来代替,即得到受均布载荷q和多余约束反力偶mA共同作用的静定简支梁,即为原超静定梁的静定基(方案2),如图7.13(c)所示。

图7.13　一次超静定梁与不同的静定基

(a)原超静定梁;(b)静定基(方案1);(c)静定基(方案2)

【解法一】按静定基(方案1)求解,如图7.13(b)所示。

以支座B为多余约束,设想将它解除去掉,并用多余约束反力FBy(↑)来代替,则已使原超静定梁与静定基(方案1)二者的受力相同。

同时,还应让原超静定梁与静定基(方案1)二者的变形情况完全相同。因原超静定梁在支座B处的挠度等于0,故静定基(方案1)在B处的挠度也应该等于0,即变形协调条件为

支座反力求出后,超静定梁问题即已解开,至此静定基已完全替代了原超静定梁,后续的其他问题只需研究静定基。例如,可作出梁的剪力图和弯矩图,进行梁的强度与刚度计算。(www.xing528.com)

【解法二】按静定基(方案2)求解,如图7.13(c)所示。

以固定端A为多余约束,设想将固定端A换成固定铰支座A,并用多余约束反力偶mA来代替,则已使原超静定梁与静定基(方案2)二者的受力相同。

同时,还应让原超静定梁与静定基(方案2)二者的变形情况完全相同。因原超静定梁在固定端A的转角等于0,故静定基(方案2)在A处的转角也应该等于0,即变形协调条件为

静定基(方案2)简支梁在A处的转角θA可以用叠加法来计算。以θA,q和θA,mA分别表示均布载荷q和多余约束反力偶mA单独作用时A处的转角,即

从表7.1中查得θA,q和θA,mA分别为

因此得到补充方程

从而求得多余约束反力偶

求出多余约束反力偶mA后,根据静力平衡方程,即可求出其他的支座反力,后续的其他问题只需研究静定基。