绘制剪力图和弯矩图的积分关系及应用分析

由

得

式(5.7a)表明,x1、x2两截面的剪力差值等于分布载荷曲线在x1~x2区间与x轴线围成的面积。注意:围成的面积是分正、负的,当q(x)向上时取正值,向下时取负值。

若x1、x2为集中力P作用的稍左和稍右截面,则式(5.7a)应变为

注意:向上的集中力P取正值,向下的集中力P则取负值。

式(5.8a)表明,x1、x2两截面的弯矩差值等于剪力曲线在x1~x2区间与x轴线围成的面积。注意:围成的面积是分正、负的,正剪力取正值,负剪力取负值。

若x1、x2为集中力偶m作用的稍左和稍右截面,则式(5.8a)应变为

注意:顺时的集中力偶m取正值,逆时的集中力偶m则取负值。

利用以上的微积分关系式,即可分段作出全梁的剪力图和弯矩图。在利用积分关系绘图时应注意以下几点:(www.xing528.com)

(1)确定控制截面,并分段,用直接法确定每段起点处的内力值;

(2)根据每段上作用的分布载荷情况确定图形的大致形状;

(3)利用所围成的相应面积确定每段终点处的内力值;

(4)根据突变关系确定下一段起点处的内力值;

(5)逐段重复(2)~(4)步。

【例5.6】利用q、FS、M间的微积分关系,绘制如图5.18(a)所示外伸梁的剪力图和弯矩图。

图5.18　例5.6图

【例5.7】试利用q、FS、M间的微积分关系,重新绘制【例5.5】中悬臂梁的剪力图和弯矩图。

【解】对于悬臂梁,可不必计算支反力。

先绘制剪力图。由截面法易知,A稍右截面的剪力值为2qa。由AB段无均布载荷作用知,AB段的剪力图为一平行于x轴的直线,所以AB段终点处的剪力值也为2qa。因为B处无集中力作用,所以剪力图无突变,BC段起始点处的剪力值也为2qa。由BC段有向下的均布载荷作用可知,BC段的剪力图为一斜向下的直线,终点处的剪力值可由面积计算得2qa-qa=qa。C处无集中力作用,剪力图在该点连续,CD段起点处的剪力值也为qa。CD段无均布载荷作用,所以剪力图为一平行于x轴的直线,CD段终点处的剪力值也为qa。作出的剪力图如图5.16(b)所示。