胡克定律及其应用场景

在2.4节中,胡克定律指出:当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比,即

式中:E为弹性模量,随材料的不同而不同。表2.2中给出了几种常用材料的E和μ。

表2.2　几种常用材料的E和μ

续表

在轴力作用下,横截面上的正应力(式(2.3))为

将式(2.17)、式(2.22)代入式(2.21),得

式(2.23)表明:当应力不超过材料的比例极限时,杆件的伸长量Δl与轴力和杆件的原长成正比,与横截面积成反比,这是胡克定律的另一种表达形式。可以看出,当轴力和杆件原长不变的情况下,乘积EA越大,杆件的轴向变形Δl越小,所以EA称为杆件的抗拉(压)刚度。

若杆件为阶梯状分段等直杆,且受两个以上的轴向外力作用时(见图2.28(a)),需要先画出轴力图,再按式(2.23)分段计算各段的变形,各段变形的代数和即为杆的总变形量(伸长量或缩短量),即

图2.28　阶梯状杆和变截面杆

(a)阶梯状分段等截面直杆;(b)变截面杆

【例2.7】某钢制阶梯轴尺寸及受力如图2.29(a)所示,P=10 kN,AC段和CB段的横截面积分别为AAC=1 000 mm2,ACB=500 mm2,长度l=2 m,已知轴的弹性模量E=200 GPa,试计算轴的轴向变形ΔlAB。

图2.29　例2.7图

【解】(1)先画出轴力图,如图2.29(b)所示。

(2)分段利用胡克定律计算各段轴向变形,然后代数叠加即可得整个轴的变形ΔlAB。

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计算结果为正,说明整个杆件是伸长的。

【例2.8】托架结构简图如图2.30(a)所示,已知AB和AC均为等截面的直杆,杆AB的长度lAB=2 m,材料都是A3钢,直径均为d=20 mm,弹性模量E=200 GPa,α=45°,β=30°,若托架所吊重物最大重量为P=40 kN。试求节点A最大的位移δA及最大的垂直位移δAy。

图2.30　例2.8图

【解】(1)计算轴力。设杆件AB、AC的轴力分别为FNAB、FNAC,根据节点A的平衡,如图2.30(b)所示,得

(2)根据胡克定律,计算两杆的变形分别为

(3)为求节点A的最大位移,假设将两杆在节点A处拆开,并使其沿各自的杆长方向变形,AB杆伸长后变为A1B,AC杆缩短后变为A2C,分别以B、C为圆心,BA1、CA2为半径作圆弧交于A3。A3点就是托架变形后节点A的位置。A1A3和A2A3是两段极其微小的短弧,因此为了计算简单,过A1、A2分别作AB杆和AC杆的垂线来代替短弧线(以切代弧),按小变形假设画变形图(见图2.30(c)),并认为此两垂线的交点就是节点A产生位移后的位置,线段AA3就是点A的最大位移δA。

由图2.30(c)可知,线段AA1的长度为ΔlAB,线段AA2的长度为ΔlAC,假设线段AA3长度δA,则

将ΔlAB、ΔlAC的绝对值代入式(a)和(b),联解求得

将θ和ΔlAC的值代入式(b)可计算得到节点A的最大位移δA=1.581 mm。

同时,利用图2.30可计算线段AA4的长度,即节点A的最大垂直位移δAy。

注意:求解这类题目时首先要清楚两个概念,一是杆件的变形与结构的位移,二是“以切代弧”。杆件的变形是杆件在载荷作用下形状和尺寸的改变,结构位移指结构在载荷作用下某个节点空间位置的改变。在用图解法求结构位移时,常用“以切代弧”,这是由于在小变形假设前提下,用切线代替圆弧而引起的误差可以接受,并使问题的解决变得较为简便。求解结构节点位移的步骤为:①受力分析;②利用平衡方程求解各杆轴力;③应用胡克定律求解各杆的变形;④用“以切代弧”的方法找出节点变形后的位置;⑤寻找各杆变形间的关系,求节点位移。

【例2.9】简单桁架结构如图2.31(a)所示。杆AB和BC均为钢杆,弹性模量E=200 GPa,横截面积AAB=80 mm2,ABC=100 mm2。在载荷P作用下,结构处于正常工作状态,通过电测仪器测得杆AB的纵向应变εAB=5×10-4。试求此时杆BC横截面上的正应力

σBC。

图2.31　例2.9图

【解】(1)设杆AB和BC的内力分别为FNAB,FNBC,节点B的受力如图2.31(b)所示,平衡方程为