横截面应力分析技术

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在求解出拉(压)杆的轴力以后,还不能判断杆件是否会因强度不足而被破坏,因为轴力只是杆件横截面上分布内力系的合力。如图2.8所示,两根杆件采用相同的材料制成、具有相同的长度、受相同的外力,很显然两杆的轴力完全相同,而实践证明,随着外力增大,细杆首先被破坏。可见,要判断杆件是否满足强度要求,仅仅知道内力是不够的,还必须知道内力的分布集度,以及材料承受载荷的能力。杆件截面上内力的分布集度,称为应力。

图2.8　两根轴向拉杆

对于拉(压)杆来说,轴力是横截面上分布内力系的合力,轴力在横截面上任一点的内力集度即为应力,并为正应力σ。如果轴力及其在截面上的分布规律已知,则横截面上围绕某点所取微面积dA上法向分布内力元素σdA的合力就是轴力FN,如图2.9所示。由静力关系可得

图2.9　内力与应力关系图

应力是看不见的,而变形是可见的,为了弄清拉(压)杆轴力在横截面上的分布规律,先通过一个实验来观察杆件的变形,如图2.10所示。

图2.10　拉杆侧面方格图(www.xing528.com)

实验前,在等直杆的侧面画上一些与杆轴线垂直的横向线和一些与杆轴线平行的纵向线,然后施加拉力,观察受力后横向线和纵向线的变形情况。实验表明:受力后横向线和纵向线仍为直线,且横向线仍然垂直于轴线,纵向线仍然平行于轴线,且纵向线平行地伸长了,各等分段伸长量相等。根据这一现象,可以假设:杆件横截面变形前后始终保持为平面,且垂直于轴线,这一假设称为平面假设(或称平截面假设)。如果将杆件假想为由无数根材料力学性能相同的纵向纤维组成,则在变形过程中,任意两个横截面之间的纤维的伸长量都相等;又因为材料是均匀连续的,所以可以推测各纤维的受力应该相同。因此,拉杆横截面上各点的正应力σ相等,其大小由式(2.2)得

式中:σ为横截面上的正应力;FN 为横截面上的轴力;A为横截面积。

式(2.3)即为轴向拉压时横截面上任一点应力的计算公式。正应力的符号规定与轴力符号规定一致,即拉应力为正,压应力为负,单位为Pa。正应力常用单位为MPa。

式(2.3)的适用范围:外力的合力与杆件轴线重合,这样才能保证各纵向纤维变形相等,横截面上应力均匀分布;对于轴上有多个外力,且其合力作用线与轴线重合的情形,式(2.3)仍然适用,可以先作出轴力图,再计算;除了等直杆外,阶梯轴、小锥度直杆(见图2.11)横截面上的应力,也可以用式(2.3)计算,但应改写成

图2.11　变截面直杆

以上正应力计算公式是在平面假设的基础上得到的,实际上外力作用点附近的区域内,应力的分布比较复杂,因此式(2.3)只适用于计算区域内横截面上的平均应力。实验和理论表明:力作用于杆端方式的不同,只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围受到影响,这就是圣维南原理。根据这一原理,在正应力的计算中,通常不考虑杆端的实际外力作用方式,在距离端截面略远处,都用式(2.3)计算正应力。

对于等直杆受到几个轴向外力作用时,由轴力图可求得其最大轴力FN max,代入式(2.3)即可得杆内最大正应力为

最大轴力所在的横截面称为危险截面,危险截面上的正应力称为最大工作应力。