数字滤波：基本概念与应用分析

数字式保护通过对采样序列的数字运算和时序逻辑处理来实现继电保护的原理和功能。数字运算主要包括数字滤波、基本特征量的计算（如幅值、相位、阻抗、功率等）和保护动作方程的运算3项内容。这里仅介绍数字滤波的基本概念。

目前，大多数数字式继电保护是以故障信号中的基频分量或某种整次谐波分量为基础构成。实际故障电流、电压信号，除了含有保护所需的有用成分外，还包含有许多无效的“噪声”分量，如衰减直流分量和各种高频分量等。消除噪声有两种基本途径：①采用数字滤波器对输入信号采样序列进行滤波，再使用算法对滤波后的有效信号进行运算处理；②直接对输入信号采样序列进行数字滤波运算处理。但一般情况下这两种基本途径或多或少都需要用到数字滤波器。

数字滤波器的特点是不以计算电气量特征参数为目的，而是通过对采样序列的数字运算得到一个新的序列（仍称为采样序列），在这个新的采样序列中已滤除不需要的频率成分，仅保留需要的频率成分。为什么通过运算可以实现数字滤波呢？下面先用简单的例子加以说明。

设有一个第k次谐波的原始正弦输入信号xk（t）=Umksin（ωkt+α），选择采样率为每基频周期N点采样，经采样可得xk（n）=xk（nTS），其周期可表示为，波形如图2.4（a）所示。通过微机的存储记忆可将上述信号延迟。当延迟时间为Tk/2（即半周期）时，得到半周期延迟信号波形如图2.4（b）所示；当延迟时间Tk（即整周期）时，得到整周期延迟信号波形如图2.4（c）所示。如果需要滤除（消除）第k次谐波，可将图2.4（a）、（b）波形相加或者图2.4（a）、（c）波形相减，则有：

或

即通过上述运算消除了第k次谐波（实际上也消除了第k次谐波的整倍数谐波），而其他信号，只要其频率不为xk（t）频率及其整数倍频率的信号，都将不同程度地得到保留。反之，如果在上两式中交换加、减号[即取图2.4（a）、（b）波形相减或者图2.4（a）、（c）波形相加]，可使第k次谐波得到增强，并且相对于其他频率的信号增强最大。由此可见，通过对采样序列采样信号的适当延时与运算相配合可实现滤波。当然，实际应用的数字滤波器的运算过程要比上例复杂，以获得优良的滤波特性。

图2.4　数字滤波基本原理示意图

一般地，线性数字滤波器的运算过程可用常系数线性差分方程表述为：

式中　x（n）、y（n）——分别为滤波器的输入值采样序列和输出值采样序列；

ai、bi——滤波器的系数，简称滤波系数。

通过选择滤波系数ai、bi，可控制数字滤波器的滤波特性。在式（2.6）中，若系数bi全部为0时，称之为有限冲击响应（FIR）数字滤波器。此时，当前的输出y（n）只是过去和当前的输入值x（n-i）的函数，而与过去的输出值y（n-i）无关。若系数bi不全为0，即过去的输出对现在的输出也有直接影响，称之为无限冲激响应（IIR）数字滤波器。与模拟滤波器对比，FIR和IIR数字滤波器可以理解为前者没有输出信号对输入的反馈，而后者则有输出信号对输入的反馈。

数字滤波器的滤波特性用频率响应特性来表征，包括幅频特性和相频特性。幅频特性反映经过数字滤波后，输入和输出信号的幅值随频率的变化情况；而相频特性则反映输入和输出信号的相位移随频率的变化情况。获得数字滤波器的频率响应特性需要使用数学工具Z变换。(www.xing528.com)

设离散序列x（n）的Z变换为Z[x（n）]=X（z），这里z=esTS，s=σ+jω。对离散系统的差分方程式（2.6）进行Z变换，则有：

定义该离散系统的转移函数为则有：

注意均为复数，因此，式（2.8）还可表示为：

若在式（2.9）中取z=ejωTS代入，即获得该系统的频域响应特性，记为H（ω）。于是得到幅频和相频特性响应分别为：

在数字保护中，只要各通道模拟信号采用同样的数字滤波器，无论相频特性响应如何，都不会改变各信号的相对相位关系，从而不会影响相位判别，因此，通常主要关心幅频特性响应，因为它真正反映了对不同频率信号的增益（即对有用信号的增强和对无用信号的衰减程度）。

对于FIR型数字滤波器，其差分方程为：

这意味着当前滤波输出与当前及前K个输入数据有关。更确切地说，需等待K+1输入数据之后滤波器才可能得到第一个滤波输出数据，也就是说，滤波输出采样序列相对于输入采样序列出现了时间上的延迟，K越大则时延越长。定义FIR型数字滤波器的响应时延τ为：

由于TS为常数，因而在实用中广泛采用数字滤波器产生一个输出数据所需要等待的输入数据的个数来表示时延，称为数据窗，记为Wd（为整数）。显然有：

时延和数据窗反映数字滤波器对输入信号的响应速度，是非常重要的技术指标。

FIR型数字滤波器的优点是因其采用有限个输入信号的采样值进行滤波计算，不存在信号反馈，因而滤波器没有不稳定问题，也不会因计算过程中舍入误差的累积造成滤波特性逐步恶化。此外，由于滤波器的数据窗明确，便于确定其滤波时延，易于在滤波特性与滤波时延之间进行协调。而IIR数字滤波器利用了反馈信号，易于获得较理想的滤波特性，但存在滤波系统稳定性问题，在设计和应用中需特别注意。目前在实用的数字保护装置中实用FIR数字滤波器居多。

数字滤波器作为数字信号处理领域中的一个重要组成部分，已建立起完整的理论体系和成熟的设计方法。但继电保护装置作为一种实时性要求较高而且需要使用故障暂态信号的自动装置，对滤波器的性能有一些特殊的要求，通过学者们的研究，提出了很多具有针对性的适于数字保护的数字滤波器的设计方法。读者要想全面了解这方面知识，可查阅相关文献，而本书仅介绍在数字保护装置中使用的简单数字滤波器，以帮助读者建立起这方面的基本概念。