电气系统的数学模型优化

时间：2023-06-29 理论教育版权反馈

【摘要】：在三相三线制系统中，三相电气量具有相关性，因此在旋转坐标系下的零轴方程可以忽略，发电机模型可得到简化。电磁转矩方程为式～式所示即可表征异步发电机的动态模型。

电气系统的数学模型优化

3.1.2.1 异步发电机

异步发电机包括笼型异步发电机、绕线转子异步发电机和双馈异步发电机（Doubly Fed Induction Generator，DFIG），不同发电机在风电系统中的应用可参见第1章相关内容，此处不再赘述。上述三种发电机中，绕线转子异步发电机和双馈异步发电机的动态数学模型（除参数外）完全相同；在双馈异步发电机的基础上，将其转子电压置为零，即可得到笼型异步发电机的数学模型。

为便于分析，在研究异步发电机数学模型时，忽略发电机的空间谐波、磁路饱和与铁心损耗且不考虑频率和温度变化对发电机绕组电阻的影响。异步发电机的数学模型，包括稳态模型和动态模型，稳态模型往往用于分析系统的稳态功率流特性；动态模型则用于设计系统的控制方法和研究系统的动态特性。

1.dq0坐标系下的动态模型^[14，15]

三相发电机的动态模型可由不同坐标系下的动态方程表征，在设计控制方法和研究动态特性时，使用最为广泛的为同步旋转坐标系（即dq0坐标系）下的发电机模型，其参考坐标系的同步转速对应于定子角频率ω_s。关于参考坐标系的说明详见5.2.1.2节相关内容。

同步旋转坐标系下的异步发电机模型可由其三相静止坐标系（即abc坐标系）下的定、转子电压平衡方程、磁链方程和电磁转矩方程通过Park-Clark变换而得到。在三相三线制系统中，三相电气量具有相关性，因此在旋转坐标系下的零轴方程可以忽略，发电机模型可得到简化。该模型的具体推导过程可参见参考文献^[14]，以下直接给出结果。

在发电机惯例下，异步发电机在定子电压同步旋转坐标系下的动态模型由电压平衡方程、磁链方程和电磁转矩方程描述。其中定转子电压平衡方程为

式中，Ψ_sd、Ψ_sq、Ψr′d、Ψr′_q分别为定子和转子的d、q轴磁链；u_sd、u_sq、u_r′_d、u_r′_q为定子侧和转子侧的d、q轴电压；i_sd、i_sq、i_r′_d、i_r′_q为定子和转子的d、q轴电流；R_s，Rr′为旋转坐标系下定子和转子的电阻；式中，上标“′”表示经绕组折算到定子侧的物理量（下同）；ω_s为同步旋转电角速度；ω_sr为转差电角速度，ω_sr=ω_s-ω_r；ω_r为发电机旋转电角速度。

磁链方程为

式中，L_s，L′_r，L_m为旋转坐标系下的定子和转子的电感和互感。L_s、L′_r与定子、转子漏感L_ls、L′_lr的关系为L_s=L_m+L_ls，L′_r=L_m+L′_lr。

电磁转矩方程为

式（3-10）～式（3-12）所示即可表征异步发电机的动态模型。值得指出的是，异步发电机动态模型的描述方式并不唯一。从控制论角度看，上述模型中，电流与磁链是等价的状态变量，其关系由式（3-11）决定。事实上Ψ_sd、Ψ_sq、Ψ_r′_d、Ψ_r′_q与i_sd、isq、ir′d、ir′q均可作为发电机模型的状态变量，采用何种状态变量来描述异步发电机动态模型应根据应用场合加以选择。例如，在本书第6章的低电压穿越理论分析中，为了更明确地揭示电压跌落过程中双馈发电机短路电流产生的物理本质，采用以定转子磁链为状态变量的动态模型展开分析。

dq0坐标系下，异步发电机的定子和转子功率分别为

定子输出有功功率：

定子输出无功功率：

转子输出有功功率：

转子输出无功功率：

需要注意的是，式（3-15）和式（3-16）中，转子侧电气量已被折算至定子侧，该式给出的是频率和绕组折算后的转子输出无功功率。

2.稳态模型

在三相对称系统中，稳态情况下，忽略式（3-10）中的微分项，可得异步发电机的稳态模型如下：

式中，u、i为电压、电流矢量，可由dq轴分量表示为u=u_d+ju_q，i=i_d+ji_q；s为转差率，s=ω_sr/ω_s。

根据式（3-17）可得异步发电机的单相T形稳态等效电路如图3-5所示^[15]。图中，电压电流用其稳态相量、表示。

图3-5 异步发电机单相T形稳态等效电路

值得注意的是，上述电路中，转子侧电气量已经过绕组和频率折算归算到定子侧，折算前后有功功率平衡不受影响，但频率折算前后其无功功率不同。

（1）有功功率流

忽略定转子铜损耗和铁心损耗，发电机输入的机械功率P_mec一部分馈入转子，另一部分通过气隙馈入定子，即

式中，P_em为电磁功率，对应图3-5中和所吸收/输出的有功功率；P_r=P_r′，对应图3-5中U·_r′所吸收/输出的有功功率。

同时

式中，T_e为电磁转矩；Ω_S为机械同步角速度。

可知，馈入定转子能量的关系为

忽略损耗条件下，发电机输入机械功率P_mec一部分转换为电磁功率P_em馈入定子，另一部分转换为转差功率-sP_em馈入转子。

在风电系统的应用中，笼型异步发电机一般直接并网运行，绕线转子异步发电机一般转子侧采用可变电阻、定子侧直接并网运行。采用这两种发电机，正常运行时，发电机工作于超同步状态，转差率s﹤0，转子侧有功功率P_r﹥0，此部分功率以热能的形式消耗在转子电阻上，由于转差率s较小（一般，笼型异步发电机为-1%～0，绕线转子异步发电机为-10%～0），这部分损耗的功率也不大。

若采用双馈发电机，由于转子侧功率可通过背靠背变流器馈入电网，发电机变速范围扩大，发电机运行于超同步速时，s﹤0，P_r﹥0，有功功率从转子侧流出，经变流器馈入电网；发电机运行于次同步速，s﹥0，P_r﹤0，有功功率从转子侧流入发电机。无论是超同步还是次同步运行，定子侧功率P_s=P_em始终大于零，意味着有功功率始终从定子侧馈入电网，系统工作在发电状态。正常运行时，双馈发电机的最大转差率s在±1/3左右，因而转子侧变流器所需处理的转子功率较小，仅为发电机额定功率的1/3左右。与基于全功率变流器的非耦合型风电系统相比，双馈发电机风电系统在成本上具有一定优势。

由上述分析可得图3-6所示为异步发电机的有功功率流。

图3-6 异步发电机有功功率流图

（2）无功功率流

发电机惯例下，从转子注入的无功功率一部分消耗在定、转子漏感上，另一部分消耗在励磁电感上，剩下部分则从定子侧馈入电网。系统的无功功率平衡关系为

式中，Q′_r、Q′_Llr分别为频率折算后的转子输出无功功率与转子漏感无功功率，Q′_r对应图3-5中所输出的无功功率。

由于绕组折算前后转子侧无功功率不变，因而式（3-23）中，只需要考虑频率折算前后转子侧无功功率分量的变化。频率折算前后，转子侧无功功率可由转子电压和电流表示为

频率折算不改变电压、电流的幅值和相位差，因此

而

式中，L_lr、Llr′为绕组折算前和折算后的转子绕组漏感；由于两者相等，故有

因此，实际系统无功功率平衡关系为(www.xing528.com)

值得注意的是，对于双馈发电机，背靠背变流器可隔离发电机转子侧和网侧，使两侧无功功率调节相互独立，因而转子侧变流器注入双馈发电机转子的无功功率并不一定等于网侧变流器从电网吸收的无功功率。

3.1.2.2 同步发电机

风电系统中使用的同步发电机主要有电励磁同步发电机（Electrically Excited Synchronous Generator，EESG）和永磁同步发电机（Permanent Magnet Synchronous Generator，PMSG）两种结构。转子结构上，前者是带直流励磁绕组的转子，后者则是永磁体；它们的定子结构与其他交流发电机基本相同，都是由三相对称分布的定子绕组与定子铁心组成。

根据磁路对称与否，电励磁同步发电机有凸极与隐极两种结构，区别如图3-7所示。凸极发电机转子上有凸出的极靴，励磁绕组缠绕在转子极靴上，考虑到磁极数量大，所有极靴均以转子轴为中心，并沿着转子外围均匀分布。由于转子采用凸极结构，发电机的气隙磁通不是均匀分布的；隐极发电机转子上并无凸出的磁极，沿着转子圓周表面开有许多槽，槽中嵌放励磁绕组，此结构下发电机的气隙磁通分布均匀。如图3-7所示，绕线转子同步发电机的转子励磁绕组均需直流电流励磁，该电流可通过与附在转子轴上的集电环和电刷供给；也可利用转轴上附加的无刷励磁设备供给。采用集电环和电刷的方法较为简单，但需定期维护；采用无刷励磁设备维护较少，但较为昂贵和复杂。

图3-7 两种不同转子结构的绕线转子同步发电机

通常，极数少、转速高的应用场合一般采用隐极式发电机，如火电厂用的同步发电机；极数较多、转速较低时，则常采用凸极结构，如水轮机组。在风电系统的应用中，直驱式电励磁发电机组一般采用凸极、多极结构，可使发电机与风力机直接耦合、低速运行，节省了齿轮箱，可有效降低系统的功率损耗和维护成本。

永磁同步发电机的转子磁链由永磁体产生，因无转子绕组而具有较高的功率密度和较低的重量；但永磁体成本较高，且存在退磁的风险。根据转子上永磁体的安装方式不同，永磁同步发电机分为表贴式和内埋式两种类型，典型结构如图3-8所示。图3-8a中，表贴式永磁同步发电机属于隐极式永磁同步发电机，该结构中，永磁体均匀贴装在转子表面，相邻永磁体由非导磁材料进行隔离，由于非导磁材料的磁导率与永磁体非常接近，转子铁心和定子间的有效气隙均匀分布在转子表面。图3-8b所示内埋式永磁同步发电机属于凸极式永磁同步发发电机，因为永磁体被嵌入转子表面，转子铁心与永磁体间的磁导率差异会形成凸极效应。

图3-8 两种不同结构的永磁同步发电机

与内埋式发电机相比，表贴式发电机在旋转时，由于永磁体安装在转子外表面，所受离心力会导致磁体脱离转子，因而通常用于低速场合，如风电系统的直驱式发电机组常采用这种结构。为避免磁体脱离、提高可靠性，表贴式永磁同步发电机还可采用外转子、内定子的结构，此结构下永磁体被附着在转子内表面，其所受离心力将有助于永磁体附着在转子铁心上^[16]。

1.dq0坐标系下的动态模型

为简化分析，同步发电机的数学模型通常建立在转子磁链定向的同步旋转坐标系下，关于参考坐标系的说明详见5.2.1.2节相关内容。在假设磁路为线性磁路、正弦永磁体磁场且不计漏感的条件下，同步发电机的动态模型与异步发电机模型类似，也可由电压与磁链方程表示，在发电机惯例下有：

电压方程为

磁链方程为

式中，Ψ_r为转子磁链；L_sd，L_sq为定子的dq轴电感，定义为

式中，L_md，L_mq为发电机dq轴励磁电感。

对于常用于风电系统的表贴式隐极发电机，dq轴励磁电感相等（即L_md=L_mq）；凸极发电机中，d轴励磁电感通常小于q轴励磁电感（即L_md<L_mq）。转子绕组中的励磁电流可采用d轴电路中的恒流源I_f表示。在永磁同步发电机中，可采用固定幅值的等效电流源I_f来模拟转子回路中的永磁体。

同步发电机的电磁转矩方程与异步发电机相同，可以表示为

对于隐极发电机，有L_sd=L_sq，此时发电机的电磁转矩T_e与q轴电流i_sq成正比。

同步发电机的定子输出功率与异步发电机表达式（3-13）、式（3-14）相同，然而，通常同步发电机通过背靠背变流器与电网相连，发电机定子输出瞬时功率并不一定等于网侧变流器输入到电网的瞬时功率。

2.稳态模型

在式（3-31）中，忽略系统动态微分项，可得dq0坐标系下同步发电机的稳态模型。

式（3-35）可由图3-9所示的等效电路表示。稳态条件下，图中的电压、电流和磁链均为直流量。

图3-9 同步发电机稳态等效电路

变速风电机组中，同步发电机通常采用背靠背变流器与电网相连，发电机与电网经变流器隔离，机组输出到电网的有功功率由机侧和网侧变流器共同决定，而无功功率则完全由网侧变流器决定。通过控制背靠背变流器，可灵活控制系统的输出功率。

3.1.2.3 功率变流器^[17]

功率变流器在风电系统中得到了广泛应用。应用于定速风电机组的变流器也称为软起动器，其结构由三组反并联连接的晶闸管对和旁路开关组成，如图3-10所示。通过控制晶闸管的触发延迟角，可实现发电机端电压从零到电源电压的调节，从而有效抑制系统起动过程中的电流和转矩冲击，系统起动后，通过旁路开关将软起动器短路，以降低系统损耗^[18]。在变速风电机组中，变流器作为系统的核心装置之一，可控制发电机转速和输出到电网的有功、无功功率，机组工作时，变流器一直处于运行状态。根据拓扑的不同，用于变速风电系统的功率变流器包括：DC/DC升压变流器、两电平电压源型变流器、多电平电压源型变流器和PWM电流源型变流器^[18]。

目前，商业化变速风电机组仍以低压系统为主，实际应用的风电机组变流器多采用两电平电压源型结构，其典型拓扑如图3-11所示，变流器由背靠背连接的全控整流桥（也称机侧变流器）与全控逆变桥（也称网侧变流器）通过直流母线连接在一起，变流器所用电力电子器件多为IGBT（Insulated Gate Bipolar Transistor，绝缘栅双极型晶体管）。该结构变流器既可用于半耦合型（双馈型）风电机组，置于发电机转子和电网之间；也可用于非耦合型风电机组，置于发电机定子和电网之间。本节的建模工作针对该拓扑的变流器。对于其他类型变流器的建模和控制方法，有兴趣的读者可进一步参阅参考文献^[18]。

图3-10 定速风力发电系统典型拓扑

图3-11 两电平电压源型功率变流器

由图3-11可见，网侧和机侧变流器的结构完全相同，因此只需针对单侧变流器进行建模，另一侧变流器的模型可以类推得到。以网侧变流器为例，选择电流的参考正方向（从变流器直流母线侧流向电网）；将机侧变流器等效为直流电流源，则网侧变流器的等效电路如图3-12所示。图中，VI₁～VI₆为IGBT，i_dc_^r_c为变流器整流侧输出电流，i_dc__inv为变流器逆变侧输入电流，U_dc为变流器直流母线电压；L_g，R_g分别为变流器并网电感和电阻；C为变流器直流母线电容；下标“g”表示电网侧变量。