如何解决平面任意力系问题？

任务介绍

平面任意力系是工程实际中最常见的一种力系，工程计算中的许多实际问题都可以简化为平面任意力系问题来进行处理。平面任意力系是指位于同一平面内的各力的作用线既不汇交于一点，又不互相平行的情况。

学习目标

1.理解力线平移定理的内容。

2.能够应用平衡方程解决平面任意力系的平衡问题。

相关知识

一、力线平移定理

图1-33中力F作用于刚体上A点，根据加减平衡力系原理，可在其上任一点O加上一对平衡力F、F′，如图1-33（b）所示，并使它们与F平行且大小相等，这样并不影响原力F对刚体的作用效果。取F与F″为一对等值、反向、不共线的平行力组成一个力偶，称为附加力偶，其力偶矩等于原力F对O点的力矩，即

于是原来作用在A点的力F就与作用在O点的平移力F和附加力偶M的联合作用等效，如图1-33（c）所示。

图1-33　力线平移定理

由此可得力线平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移至刚体任一点O，但必须附加一力偶，此附加力偶的矩，等于原力F对新作用点O的力矩。

力线平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用；二是附加力偶对物体产生的旋转作用。

如图1-34所示，圆周力F作用于转轴的齿轮上，为观察力F的作用效应，将力F平移至轴心O点，则有平移力F′作用于轴上，同时有附加力偶M使齿轮绕轴旋转。

图1-34　齿轮

二、平面任意力系向一点的简化

设在刚体上作用着一个平面任意力系F1、F2、F3、…、Fn，如图1-35（a）所示。在此力系的平面内任取一点O，称为简化中心。应用力线平移定理，分别将各力平移到O点后便可得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′1、F′2、F′3、…、F′n，和一个矩为M1、M2、M3、…、Mn的附加平面力偶系，如图1-35（b）所示。

图1-35　平面任一力系向一点简化

1）平面汇交力系，可以合成为一个作用于O点的合矢量，如图1-35（c）所示。

它等于力系中各力的矢量和。显然，单独的不能和原力系等效，它被称为原力系的主矢。将式（1-11）写成直角坐标系下的投影形式：

因此主矢的大小及其与x轴正向的夹角分别为

2）附加平面力偶系M1、M2、M3、…、Mn可以合成为一个合力偶矩OM，即

显然，单独的OM也不能与原力系等效，因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。

综上所述，得到如下结论：平面任意力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。

原力系与主矢和主矩OM的联合作用等效。主矢的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩OM的大小和转向与简化中心的选择有关。

三、任意力系的平衡条件和平衡方程

1.平面任意力系的平衡方程

由上述讨论知，若平面任意力系的主矢和对任一点的主矩都为零，则物体处于平衡；反之，若力系是平衡力系，则其主矢、主矩必同时为零。因此，平面任意力系平衡的充要条件是　　　　　　　　　　　

故得平面任意力系的平衡方程为

式（1-15）满足平面任意力系平衡的充分和必要条件，所以平面任意力系有3个独立的平衡方程，可求解最多3个未知量。(www.xing528.com)

2.平面任意力系平衡方程的解题步骤

1）确定研究对象，画出受力图。应取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。

2）列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力图上有两个未知力互相平行，可选垂直于此二力的坐标轴，列出投影方程。若不存在两未知力平行，则选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐标轴可画可不画，但必须画出倾斜的坐标轴。

例1-9　绞车通过钢丝牵引小车沿斜面轨道匀速上升，如图1-36（a）所示。已知小车重P=10kN，绳与斜面平行，α=30°，a=0.75m，b=0.3m，不计摩擦，求钢丝绳的拉力及轨道对车轮的约束反力。

图1-36　绞车通过钢丝牵引小车

解：

1）取小车为研究对象，画受力图［图1-36（b）］。小车上作用有重力P，钢丝绳的拉力FT，轨道在A、B处的约束反力FNA和FNB。　　　　　　　　　　　　　　　　　

2）取图1-36（b）所示坐标系，列平衡方程为

解得FT=5 kN，FNB= 5.33kN，FNA= 3.33kN。

例1-10　悬臂梁如图1-37所示，梁上作用有均布载荷q，在B端作用有集中力F=ql和力偶为M=ql2，梁长度为2l，已知q和ql（力的单位为N，长度单位为m），求固定端的约束反力。

解：

1）取AB梁为研究对象，画受力图，如图1-37（b）所示，均布载荷q可简化为作用于梁中点的一个集中力FQ=q×2l。

图1-37　悬臂梁的受力情况

2）列平衡方程，有

任务小结

1）力的平移定理：作用于刚体上的力F可以平移到刚体内任一点O，但必须附加一力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力F对点O之矩。

2）平面任意力系的简化结果

主矢：

主矩：

3）平面任意力系的平衡方程为

拓展提高

平面任意力系平衡方程的其他形式

除用解析式表示平衡条件外，平衡方程式的形式还有二矩式和三矩式两种形式。

（1）二矩式

附加条件：AB连线不得与x轴相垂直。

（2）三矩式

附加条件：A、B、C三点不在同一直线上。

式（1-16）和式（1-17）是物体取得平衡的必要条件，但不是充分条件，读者可自行推证。