静力学基础：物体受力分析方法和力系平衡条件在工程中的应用

任务介绍

物体受力分析方法和力系平衡条件在工程中应用很广。例如，在静载荷作用下的工程结构（如桥梁、房屋、起重机、水坝等），常见的机械零件（如轴、齿轮、螺栓等），以及手动工具和低速机械，它们在工作时大多处于平衡状态，或可以近似地看作平衡状态。为了合理地设计或选择这些结构物和零件的形状、尺寸，保证构件安全、可靠地工作，必须先运用静力学知识对构件进行受力分析，并根据平衡条件求出未知力，所以静力学是学习材料力学的基础。此外，静力学知识还可直接用来解决工程技术中的许多力学问题。

学习目标

1.理解静力分析的基本概念和基本原理。

2.掌握典型约束的约束性质，能熟练绘制其受力图。

相关知识

一、静力学的基本概念及基本原理

1.力的相关概念

力是物体间的相互作用，作用的结果是使物体的运动状态发生变化或使物体发生变形。力使物体的运动状态发生改变（如足球由静止到运动），称为力的外效应或运动效应；力能使物体的形状发生改变（如打扁的乒乓球），称为力的内效应。前者是静力学所研究的内容，而后者是材料力学所研究的内容。

因为力是一个物体对另一个物体的作用，所以力不能脱离实际物体而存在。力的概念产生于人类的生产劳动中，当人们用手握、拉、掷、举物体时，由于肌肉紧张而感到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间，如汽车与地面之间存在力的作用，可燃气体推动活塞在气缸中往复运动也存在力的作用等。在研究物体受力时，必须分清受力物体和施力物体。

力的三要素指力的大小、方向和作用点（图1-1）。

力的大小指物体间机械作用的强弱。它的单位是N（牛）或kN（千牛）。

图1-1　力的示意图

三要素中任何一个要素改变，都会使力的作用效果发生改变。

在力学中有两类量：标量和矢量。只考虑大小的量，如长度、时间、质量等是标量。既考虑大小又考虑方向的量称为矢量。力是矢量，既有大小，又有方向，图示时常用一个带有箭头的线段表示，通常称为有向线段。图1-1（b）中，线段的长度AB按一定比例代表力的大小，线段的方位与箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用点。力的文字符号用黑体表示，如F代表力矢量；用白体字母F代表力的大小。

2.刚体的概念

刚体是指在任何力的作用下都不发生变形（或者说其内任意两点间距离保持不变）的物体。刚体是抽象化的力学模型，实际上并不存在真正的刚体，任何物体受力后都会发生变形，但工程中很多物体变形很微小，当研究物体的平衡与运动时可以忽略不计，从而使问题简化。在静力学中，常把研究的物体抽象为刚体。

3.平衡与力系的概念

物体的平衡是物体相对于地面处于静止或做匀速直线运动的状态，它是一个相对的概念。平衡是物体机械运动中的一种特殊情况。

作用在同一物体上的一群力称为力系。

如果物体在一个力系的作用下保持平衡，则称为这一力系为平衡力系。如果两个力系分别对同一物体的运动效应相同，则这两个力系互称为等效力系。如果一个力与一个力系等效，则称这个力是该力系的合力，而该力系中的每个力是合力的分力。

各力作用线均在同一平面内的力系称为平面力系。

根据力系中各力作用线分布的特点不同，平面力系主要可分为以下3类（图1-2）。

1）平面汇交力系：各力的作用线交于一点［图1-2（a）］。

2）平面力偶系：仅由平面力偶组成的平面力系［图1-2（b）］。

3）平面任意力系（一般力系）：各力作用线在平面内任意分布的平面力系［图1-2（c）］。

图1-2　平面力系的类型

（a）平面汇交力系；（b）平面力偶系；（c）平面任意力系

4.静力学基本公理

静力学公理是人类经过长期经验积累和实践验证总结出来的最基本的力学规律，是静力学的基础。

公理1　二力平衡公理。

作用于一个刚体上的力，使刚体保持平衡状态的必要与充分条件：此二力大小相等、方向相反、作用在同一直线上（简称二力等值、反向、共线），如图1-3所示，用矢量式表示为。

工程中经常遇到不计自重、只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件，当构件呈杆状时，又习惯称为二力杆。根据二力平衡公理，作用于二力构件上的两个力的作用线必定沿着两个力作用点的连线，且大小相等、方向相反。图1-4中构件CD如果不计自重，它就是一个二力构件，在C、D两端所受的力必等值、反向，作用线为沿两力作用点C、D的连线。

图1-3　二力平衡

图1-4　二力构件

应用二力构件的概念可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向。图1-5所示三铰拱中的AB部分，当汽车不在该部分上且不计自重时，它只可能通过A、B两点受力，是一个二力构件，故A、B两点的作用力必沿AB连线的方向。

公理2　作用与反作用公理。

两个物体间的作用力与反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反、沿着同一直线（简称等值、反向、共线），分别作用在这两个物体上。

这个定律概括了自然界物体间相互作用的关系，表明一切力都是成对出现的。这里应注意，此公理与二力平衡公理是有差别的，此公理叙述了两个物体之间的相互作用的关系，而二力平衡公理叙述了作用于同一刚体上二力的平衡条件。

图1-5　三铰拱

公理3　加减平衡力系公理。

在任意一个已知力系上加上或减去任一个平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用。

这一公理的正确性是显而易见的，因为一个平衡力系是不会改变物体的原有状态的。这条公理常被用于简化某一已知力系。依据这一公理，可以得出下面一个重要推论。

推论1　力的可传递性原理。

作用于刚体上的力，可沿其作用线滑移到任一点，而不会改变该力对该刚体的作用效果。

证明：设力F作用在刚体上A点（图1-6），依公理3可在该力F作用线上任一点B加一对平衡力F1、F2，使F=F2=-F1［图1-6（b）］，而力系（F，F1，F2）与力F是等效的。除去F与F1所组成的一对平衡力，刚体只剩F2且F2=F［图1-6（c）］。依公理3可知，物体仍维持原来运动状态，但B点的力F2是力F沿其作用线滑移的结果，这就证明了力的可传递性。

图1-6　力的可传递性

注意：力的可传递性原理只适应于刚体且只能沿其作用线移动而不能任意移至作用线以外的位置。

公理4　力的平行四边形法则。

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用于该点，合力的大小和方向由以这两个力为邻边所构成的平行四边形对角线来确定。如图1-7（a）所示，已知有两力F1、F2作用于A点，以FR表示其合力，则FR= F1+F2。

从图1-7（a）可以看出，在求合力时，实际上只需画出力平行四边形的一半，即一个三角形就可以。为了使图形清晰，通常把这个三角形画在力所作用的物体之外，如图1-7（b）、（c）所示，也称为力的三角形法则。

为求F的大小与方向，可用几何作图法或几何关系计算。

图1-7　力的合成

推论2　三力平衡汇交定理。

作用在刚体上同一平面内的3个不平行的力，如果使刚体处于平衡，则这3个力的作用线必汇交于一点。

证明：如图1-8（a）所示，在刚体上A、B、C 3点分别作用有共面力F1、F2、F3。根据力的可传递性原理，可将F1、F2移至它们的作用线的交点O。并用公理4求出其合力FR，则力F3必然与FR平衡，如图1-8（b）所示。根据公理1，此两力必共线，当然F、F2、F3必共面，且通过O点。

图1-8　三力平衡共面

5.约束和约束反力

有些物体，如飞行的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制，这些位移不受限制的物体称为自由体。有些物体，如火车、悬挂的灯泡等，它们在空间的位移受到一定的限制。例如，火车受到铁轨的限制，只能沿铁轨移动；灯泡受到绳索的限制，不能下落。这些位移受到限制的物体称为非自由体。对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束，约束限制物体运动的力称为该物体的约束反力。例如，发动机轴承给曲轴的力，柔索给重物的力等，都是约束反力。约束反力一般是未知力。一般情况下，约束反力的方向总是与该约束所能阻碍的运动方向相反，从而可以确定约束反力的方向或作用线的位置。约束反力的大小则需要通过平衡条件来计算。

下面介绍工程上常见的约束类型及其约束反力方向的确定方法。

（1）柔索约束

工程上常见的钢丝绳、传送带、链条等都可以简化为柔索。柔索只能承受拉力。所以，柔索对物体的约束反力的作用点在接触处，方向沿着柔索背离物体，恒为拉力（图1-9）。通常用FT表示这类约束反力。

图1-9　柔索约束

（2）光滑接触面约束

两个相互接触的物体，如接触面（或点、线）上的摩擦力很小，可以忽略不计，这种光滑面所构成的约束称为光滑接触面约束（图1-10）。

图1-10　光滑接触面约束

这种约束只能限制物体过接触点沿接触面公法线指向约束物体的运动，而不能限制物体在接触面的切线方向的运动，故约束反力必然沿接触点的法向，并指向被约束的物体，又称法向反力。通常用FN表示此类约束反力。(www.xing528.com)

（3）光滑铰链约束

如图1-11（a）、（b）所示，两个带有圆孔的物体，用圆柱销连接，就构成了典型的铰链约束。

光滑铰链忽略了销与孔壁间的摩擦。

光滑铰链约束只能限制物体在垂直于销轴线平面内任意方向的移动，不能限制物体绕销轴线的转动。其实质为光滑面的约束。因此，约束反力应过接触点K沿接触面公法线方向，即沿过销中心和K点的连线方向，如图1-11（c）所示。但物体受力情况的不同，接触点K的位置也不同。所以约束反力的方向不能预先确定，通常用过销中心的两个正交分力力Fx和Fy表示［图1-11（c）］，指向可任意假定，其正确与否可由计算结果的正负确定。

图1-11　光滑铰链约束

工程上常见的铰链支座约束有如下几种。

1）固定铰链支座。在形成铰链约束的两个构件中，若有一个固定在地面或机架上，则这种约束称为固定铰链支座。支座与物体的连接采用铰链连接，如图1-12（a）所示。固定铰链支座约束能限制物体沿圆柱销半径方向的移动，但不能限制转动，其约束反力作用线必定通过圆柱销中心，但其大小和方向均为未知，需根据物体受力的情况确定。在画图和计算时，这个方向待定的支座约束反力，常用相互垂直的两个分力Fx和Fy来代替，如图1-12（b）所示。但若用铰链连接的是一个二力构件，则铰链约束反力可以根据公理1画在两个力作用点的连线上，如图1-13所示。

图1-12　固定铰链连接

图1-13　铰链连接二力构件

2）中间铰链支座。被连接的两个构件均为活动件，这种约束称为中间铰链支座，如图1-14所示。这种支座约束反力作用线必定通过圆柱销中心，但其大小和方向均为未知，需根据物体受力的情况确定。在画图和计算时，这个方向待定的支座约束反力，常用相互垂直的两个分力Fx和Fy来代替，如图1-14（c）所示。

图1-14　中间铰链

3）活动铰链支座。工程上，有时为使构件自由热胀冷缩，在铰链支座下安放几个圆柱形滚轴，使支座在支承面上可以任意移动，这种约束称为活动铰链支座，又称辊轴支座，如图1-15（a）所示。

如果不计摩擦，则这种支座不能限制物体沿接触面切线方向的移动，只能限制物体沿支承面法线方向的移动，所以其约束反力必定沿支承面法线且通过铰链中心。其简化表示及约束反力如图1-15（b）所示。

图1-15　活动铰链支座

二、物体的受力分析和受力图

在工程实际中，为了求出未知的约束反力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力、每个力的作用位置和力的作用方向，这个分析过程称为物体的受力分析。为了清晰地表示物体的受力情况，人们把需要研究的物体（称为受力体）从周围的物体（称为施力体）中分离出来，单独画出它的简图，这个步骤称为取研究对象或取分离体。画出分离体上所有作用力的图称为物体的受力图。

画受力图的一般步骤：

1）确定研究对象。

2）画出对象的分离体简图。

3）在简图上标出已知力。

4）在简图上解除约束处画出约束反力。

受力图是解决工程力学问题的关键，掌握受力图的画法对于静力分析非常重要。下面举例说明受力图的画法。

例1-1　重力为G的均质圆球O，由杆AB、绳BC与墙壁来支持，如图1-16（a）所示。各处的摩擦与杆重不计，试分别对球和杆AB进行受力分析。

图1-16　受力图画法

解：

1）以球为研究对象。

① 解除杆和球的约束，画出其分离体图。

② 画出主动力：球受重力G。

③ 画出全部约束反力：杆对球的约束反力FD和墙对球的约束反力FE（D、E两处均为光滑接触面约束）。球O的受力图如图1-16（b）所示。

2）以AB杆为研究对象。

① 解除绳子C、球O和固定铰链A的约束，画出其分离体图。

② B处受绳索约束，画出拉力FB。

③ D处为光滑接触面约束，画出法向反力F'D，它与FD是作用力与反作用力的关系。

④ A处为固定铰链约束，根据三力平衡汇交定理，找到F'D和FB的交点P，连接AP两点，画出约束反力FA。AB杆的受力图如图1-16（c）所示。

例1-2　如图1-17（a）所示，DE杆重力为G，AB杆和BD杆不计重力，系统平衡，试画出BD杆、DE杆和构件AB的受力图。

图1-17　受力图分析

解：

1）以构件AB为研究对象，解除约束，画出分离体，因为不计重力，故AB为二力构件，受力如图1-17（b）所示。

2）以DE杆为研究对象。

① 解除约束，画出分离体。

② 画出已知重力G。

③ 画出BD杆对DE的约束反力FD，E处是固定铰链约束，由G和FD的方向可知FE的方向只能平行于G和FD，BD杆受力如图1-17（c）所示。

3）以BD杆为研究对象。

① 解除各部分约束，画出分离体。

② B处为中间铰链约束，画出约束反力F'B，它与FB是作用力与反作用力的关系。

③ D处为光滑接触面约束，画出约束反力F'D，它与FD是作用力与反作用力的关系。

④ C处为固定铰链约束，根据三力平衡汇交定理，找到F'B和F'D的交点，与C点相连，画出约束反力FC，BD杆受力如图1-17（d）所示。

通过取分离体和画受力图，就把物体之间的联系转化为力的联系。这样就为分析和解决力学问题提供了依据，因此应该熟练、牢固地掌握这种科学抽象方法。

任务小结

1.基本概念

1）力是物体之间相互的机械作用：力的效应有外效应和内效应，静力学中研究力的外效应。力对物体的外效应决定于三要素：大小、方向和作用点（作用线）。

2）力系是作用在同一物体上的若干个力的总称。

3）刚体是静力学中将实际物体进行抽象化的理想模型，静力学的研究对象是刚体。

4）平衡在工程上一般是指物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态。

2.静力学公理及其推论

静力学公理及其推论反映了力的基本性质，是静力学的理论基础。

3.物体的约束及受力分析

1）柔索约束：这种约束只能承受沿柔索方向的拉力。

2）光滑接触面约束：这种约束只能承受位于接触点（或线、面）的法向压力。

3）光滑铰链约束：可分为固定铰链支座、中间铰链支座、活动铰链支座3种形式，前两种能限制物体两个方向的移动，故表示为正交约束反力；第三种的约束反力只能位于滚子接触面的法线方向。

4）在解除约束的分离体上，画上它所受的全部主动力和约束反力的图，就称为该物体的受力图。画受力图时应注意：只画受力，不画施力；只画外力，不画内力；解除约束后，才能画上约束反力。

拓展提高

力的常见种类

1）重力：重力是物体受到地球的吸引而产生的力。重力的作用点在物体的重心上，方向总是垂直向下。重力的大小为G=mg。

2）摩擦力：相互接触的两物体有相对运动或相对运动趋势时产生的阻碍这种相对运动或相对运动趋势的力。摩擦力方向为沿接触面切线方向，与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。滑动摩擦力大小为Fmax=μFN。静摩擦力大小可在0到Fmax之间变化。

3）弹力：当物体在外力作用下发生弹性形变时，反抗形变的力称为弹力。弹力的方向与物体恢复原来形状的趋势相同，与使物体发生形变的外力方向相反。在物体的弹性极限范围内，弹力的大小和弹性体的变形量成正比。弹力是发生形变物体所产生的力，它作用在使它发生形变的其他物体上。