有限元分析的一般方法

有限元分析方法是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片地表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。因此，有限元分析方法主要包括以下几个步骤：

首先是剖分，也就是将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的，二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等，每个单元的顶点称为节点（或结点）。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况下，单元划分得越细，则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同型材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

其次是单元特性分析，包括选择位移模式，分析单元的力学性质和计算等效节点力三部分。选择位移模式是指在有限元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等用节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，采用有限元法时，我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。分析单元的力学性能主要指根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。计算等效节点力是指物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

这部分也称作单元分析，即进行分片插值，将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，建立一个线性插值函数。(www.xing528.com)

最后，组建单元组集，指利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。

通过上述分析，可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。

有限元法十分有效，通用性强，应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。