指数分布是一种很重要的寿命分布类型，在武器装备的可靠性分析中，有许多装备以指数分布为假定的寿命分布，并以此为根据作统计推断。指数分布可分为单参数指数分布和两参数指数分布两种类型。
1.单参数指数分布
1）点估计
前面已经提到由不同的寿命数据类型将会得到不同的推断方法。下面介绍几种与实际工作比较接近的数据类型。
（1）非替换（右侧）定数截尾寿命试验的情况。
假定：
①t1，…，tn 为相互独立同分布的单参数指数分布；
②以其大小次序排列为t（1）≤t（2）≤…≤t（n）；
③试验进行到t（r）时停止，也就是进行到第r 个失效时为止，t（1）≤t（2）≤…≤t（r）（0 ＜r≤n）。
a.平均寿命θ 的估计量。
式中：
b.失效率λ 的估计量。
c.可靠度R（t0）的估计量。
式中：t0——预先给定的任务时间。
（2）非替换（右侧）定时截尾寿命试验的情况。
假定：
①t1，…，tn 为相互独立同分布的单参数指数分布；
②以其大小次序排列为t（1）≤t（2）≤…≤t（n）；
③寿命试验进行到预先规定的时间τ 停止，若在τ 以前有r 个失效，即t（1）≤t（2）≤…≤t（r）≤τ。
a.平均寿命θ 的估计量。
式中：
b.失效率λ 的估计量。
c.可靠度R（t0）的估计量。
式中：t0——预先给定的任务时间。
（3）非替换混合截尾寿命试验的情况。
假定：
①t1，…，tn 为相互独立同分布的单参数指数分布；
②以其大小次序排列为t（1）≤t（2）≤…≤t（n）；
③寿命试验进行到预先规定的时间τ 停止，r 为预先规定的停试失效个数，若在τ 时刻已失效的个数为r′，记为
式中：
a.平均寿命θ 的估计量。
b.失效率λ 的估计量。
c.可靠度R（t0）的估计量。
式中：t0——预先给定的任务时间。
（4）非替换定时间隔测试的寿命试验的情况。
假定：
①t1，…，tn 为相互独立同分布的单参数指数分布；
②测试时间为
；
③t1，…，tn 满足（τi-1，τi）时间间隔的个数为ri 个（i =1，2，…，l），因此有
个落入
内。ri（i=1，2，…，l）是随机的，令rl+1 =
。
若是等时间隔的，即h1 =h2 =… =hl =h，则θ 的估计量为
如果只测试一次，即l=1，则θ 的估计量为
当h1，h2，…，hl 并不相等，但max｛h1，h2，…，hl｝ 相对于
很小时，则
为近似估计量。gi（i=1，2，…，l）由式（4-28）给出。
如果
或
则其近似估计量
如果式（4-30）中max｛h1，h2，…，hl｝ 相对于
很小，可以得到
，这就是式（4-31）。
对于平均寿命很长的产品来说，若测试间隔较短，可以利用式（4-28）作为平均寿命θ 的估计量，进一步也可以用非替换定时截尾子样作近似，式（4-28）也就是式（4-13）的估计。失效率λ、可靠度R（t0）的估计量可分成不同情况依据上述平均寿命θ 的估计量分别给出。
（5）非替换定时逐次截尾寿命试验的情况。
假定：
①n 件随机抽取的试件同属一个母体，即每个试件的寿命服从同一个单参数指数分布；
②在寿命试验中有r（随机的）个失效试验，其失效时间为t（1），t（2），…，t（r）；
③在寿命试验中，预先确定k 个时刻τ1 ＜τ2 ＜… ＜τk。在τ1 时刻，在未失效的试件中随机的停试b1 个试件；在τ2 时刻，在未失效的试件中随机停试b2个试件……在τk 时刻，停试bk 个未失效的试件，使得
在上述假设下，平均寿命θ 的极大似然估计量为
式中：
（6）非替换定数逐次截尾寿命试验的情况。
假定：
①n 件随机抽取的试件同属一个母体，即每个试件的寿命服从同一个单参数指数分布；
②在寿命试验中有r 个（预先给定的）失效试验，其失效时间为t（1），t（2），…，t（r）；
③在t（1）时，从未失效的试件中随机停试b1 个试件；在t（2）时刻，在未失效的试件中随机停试b2 个试件……在t（r）时刻，将所有未失效的试件都停试，并有
在上述假设下，平均寿命θ 的极大似然估计量为
式中：
若b1 =b2 =br-l =0，则式（4-37）即定数截尾式（4-14）的情况。
2）区间估计
单参数指数分布的区间估计与点估计一样，下面分别对不同的数据类型进行讨论，在给出双侧置信区间的同时，对平均寿命θ 和可靠度R（t0）给出其单侧置信下限（左单侧置信区间），对失效率λ 给出其单侧置信上限（右单侧置信区间）。
（1）非替换（右侧）定数截尾寿命试验的情况。
①平均寿命θ 的估计量。
双侧置信区间（置信度为1-α）为
或
式中：Tr，n——由式（4-14）给出；
分布的下侧分位数，可查χ2 分布分位数表（GB 4086.2）。
以1-α 为置信度的单侧置信下限为
或
②失效率λ 的估计量。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
或
以1-α 为置信度的单侧置信下限为
或
③可靠度R（t0）的估计量。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：t0——预先给定的任务时间。
以1-α 为置信度的单侧置信区间为
式中：t0——预先给定的任务时间。
（2）非替换（右侧）定时截尾寿命试验的情况（失效时间能确切测得的情况）。
对于非替换（右侧）定时截尾寿命试验的情况，欲求得严格的置信区间，在计算上相对困难。但是，可以给定简单近似的置信区间。
①平均寿命θ 的估计量。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为：
a.当r=0 时：
b.当r=1，2，…，n-1 时：
或
c.当r=n 时：
式中：
分布的下侧分位数，可查χ2 分布分位数表。
以1-α 为置信度的θ 单侧置信区间为：
a.当r=0，1，2，…，n-1 时：
或
式中：当r=0 时，Tr，n =nτ，这是没有失效试件的情况。
b.r=n 时：
②失效率λ 的估计量。
以1-α 为置信度的λ 的近似双侧置信区间为：
a.当r=0 时，由式（4-48）的界限取倒数推得
式中：τ——预先规定的停试时间。
b.当r=0，1，2，…，n-1 时，由式（4-49）和式（4-50）的界限取倒数推得
或
以1-α 为置信度的λ 的近似单侧置信区间为：
a.当r=0，1，2，…，n-1 时：
或
b.当r=n 时：(www.xing528.com)
③可靠度R（t0）的估计量。
因为
，可以利用θ 的单双侧近似置信区间，分别得到R（t0）的单双侧近似置信区间。
以1-α 为置信度的R（t0）的近似双侧置信区间可由式（4-48）、式（4-50）和式（4-51）分别得到。
a.当r=0 时：
b.当r=1，2，…，n-1 时：
或
c.当r=n 时：
由式（4-54）和式（4-55），可分别得到R（t0）的以1- α 为置信度的近似单侧置信区间。
a.当r=0，1，2，…，n-1 时：
或
b.当r=n 时：
（3）非替换定时截尾寿命试验的情况（失效时间不能确切测得的情况）。
在有的情况下，只知道在一段时间内失效的个数，不知道确切的失效时间。在现场试验中所得到的数据，很多属于这种情况。
有n 件随机抽取的试件，进行非替换的寿命试验，试验到预先规定的时间τ 停止，在此前失效个数为r。在此假定下，则可得到以下结果：
①平均寿命θ 的估计量。
以1-α 为置信度的θ 的单侧置信区间为
以1-α 为置信度的θ 的双侧置信区间为
式中：
和
2）——F 分布的下侧分位数，可查F 分布分位数表（GB 4086.4）。
②可靠度R（t0）的估计量。
以1-α 为置信度的R（t0）的单侧置信区间为
以1-α 为置信度的R（t0）的双侧置信区间为
式中：t0——预先给定的任务时间。
（4）非替换混合截尾寿命试验的情况。
对于混合截尾寿命试验的停试规则，有两个预先给定的停试指标，即可容许的失效个数r 和最长的试验时间τ。在试验过程中，只要达到一个停试指标，则寿命试验停止。也就是说，当t（r）≥τ 时，则属于非替换的定时（右侧）截尾寿命试验，在τ 以前失效个数记为r′；当t（r）＜τ 时，则属于非替换的定数（右侧）截尾寿命试验。
①平均寿命θ 的估计量。
以1-α 为置信度的θ 的单侧置信区间为：
a.当t（r）≥τ 时：
式中：
b.当t（r） ＜τ 时：
式中：
以1-α 为置信度的θ 的双侧置信区间为：
a.t（r）≥τ 时：
式中：Tr′，n——由式（4-73）给出。
式（4-76）也就是式（4-50）的形式
b.当t（r） ＜τ 时：
式中：Tr，n——由式（4-75）给出。
②可靠度R（t0）的估计量。
以1-α 为置信度的R（t0）单侧置信区间为：
a.当t（r）≥τ 时：
式中：Tr′，n——由式（4-73）给出；
t0——预先给定的任务时间。
b.当t（r）≤τ 时：
式中：Tr，n——由式（4-75）给出；
t0——预先给定的任务时间。
以1-α 为置信度的R（t0）双侧置信区间为：
a.当t（r）≥τ 时：
式中：Tr′，n——由式（4-73）给出。
t0——预先给定的任务时间。
b.当t（r）≤τ 时：
式中：Tr，n——由式（4-73）给出。
t0——预先给定的任务时间。
（5）非替换定数逐次截尾寿命试验的情况。
由式（4-39）和式（4-40）可知
2.两参数指数分布
两参数指数分布比前述单参数指数分布多一个参数γ，称为起始参数，而θ 称为尺度参数，它不再代表平均寿命。
1）点估计
（1）非替换（右侧）定数截尾寿命试验的情况。
通常希望选择最小均方误差的估计量，即
和
。
根据上述估计量可得到可靠度
为了得到区间估计，可以选择
和
。
（2）非替换（右侧）定时截尾寿命试验的情况。
①尺度参数θ 的估计量。
②起始参数γ 的估计量。
（3）失效率。
2）区间估计
（1）非替换（右侧）定数截尾寿命试验的情况。
①θ 的置信区间估计。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：
——由式（4-86）给出。
以1-α 为置信度的单侧置信区间为
②γ 的置信区间估计。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：
——由式（4-86）给出；
——F 分布的下侧分位数，可查F 分布分位数表。
以1-α 为置信度的单侧置信区间为
③失效率λ 的置信区间估计。
因为
，利用式（4-91）和式（4-92）就可得到λ 的单、双侧置信区间。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：
——由式（4-86）给出。
以1-α 为置信度的单侧置信区间为
④可靠度R（t0）的近似置信区间。
第一近似区间为：
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：t0——预先给定的任务时间；
——由式（4-86）给出。
以1-α 为置信度的单侧置信区间为
第二近似置信区间为：
利用标准正态分布可得到以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：t0——预先给定的任务时间；
m——由式（4-98）给出。
v——由式（4-99）给出。
——标准正态分布的下侧分位数，可查正态分布分位数表（GB 4086.1）。
利用标准正态分布可得到以1-α 为置信度的单侧置信区间为
第三近似置信区间为：
利用θ 和γ 置信区间得到可靠度R（t0）的置信区间。
以1-α 为置信度的双侧置信区间为
式中：θu——由式（4-91）得到的θ 的置信上限；
θl——由式（4-91）得到的θ 的置信下限；
γu——由式（4-91）得到的γ 的置信上限；
γl——由式（4-91）得到的γ 的置信下限。
以1-α 为置信度的单侧置信区间为
式中：θl——由式（4-92）得到的θ 的置信下限；
γl——由式（4-94）得到的γ 的置信下限。
（2）有替换（右侧）定数截尾寿命试验的情况。
有关θ、γ、λ 和R（t0）的置信区间公式［式（4-91）～式（4-100）］也适用于有替换定数截尾寿命试验。所不同的是，所有非替换定数截尾寿命试验公式中的
应由式（4-105）计算，即
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