前面分析了四个Mecanum轮悬挂在机器人的四个对称点上的Mecanum轮全方位移动机器人,在实际应用中,可能需要改变四个Mecanum轮的悬挂点。本小节将讨论不规则排列的四轮Mecanum轮全方位移动机器人的运动学和动力学,如图3-3所示,在机器人的四个点上悬挂有四个Mecanum轮,它们距离机器人质心(假设与机器人中心重合)的距离已知。为了研究方便,本课题在以车子的质点O为原点的车架上建立一个用户坐标系∑O,机器人的前方为X轴的正向,向左行驶的方向为Y轴的正向。
图3-3 不规则排布四轮Mecanum轮全方位移动机器人
假设机器人质点O沿X方向移动的速度为vx、沿Y方向移动的速度为vy和绕中心垂直轴转动的角速度为ωz,机器人的整个车架是一个刚体,车架的四个悬挂机构的安装点的速度可以由机器人的中心速度求得,这样就可以得到机器人在Mecanum轮中心点的速度:
联合等式(3-4)~(3-7)和(3-32)~(3-35),可以由机器人中点O的X方向移动的速度vx、Y方向移动的速度vy和绕中心垂直轴转动的角速度ωz求出四个轮毂速度ViW(i=1,2,3,4)的等式:
假设是Mecanum轮全方位移动机器人中心在坐标系中的速度;而是Mecanum轮全方位移动机器人四个轮子相应的速度,联合上面四个等式,可以得出Mecanum轮全方位移动机器人的运动学方程:
其中
在已知四个轮子转速的情况下,也可以用四个轮子的转速获得Mecanum轮全方位移动机器人质心在坐标系∑O中的速度,其矩阵方程如下:
其中J+=(JTJ)-1JT∈R3×4是矩阵J的广义逆。四个轮子的半径均为R,而四个轮子的转速可以根据需要自行选择,这样就可以得出等式:(www.xing528.com)
不规则排列四轮Mecanum轮全方位移动机器人的动能包含项与前面研究的Mecanum轮相同,因此不规则排列四轮Mecanum轮全方位移动机器人的Lagrange函数为:
其中:m是整个机器人的质量,J是整个机器人绕Z轴的转动惯量,J2是各个轮子绕其质心轴的转动惯量。
整个机器人三个自由度上的速度分别为:
将等式(3-45)~(3-47)代入等式(3-44)得:
联合等式(3-22)、(3-48)得:
令
不规则排列四轮Mecanum轮全方位移动机器人的动力学方程为:
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