形心主轴与主惯性矩

A.4.1　转轴定理

转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对不同位置坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

任意平面图形如图A.13所示，其对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为Iy、Iz和Iyz。若将该坐标轴绕坐标原点O旋转α角（规定α角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负），得到一对新坐标轴y1轴和z1轴，假设图形对y1轴、z1轴的惯性矩和惯性积分别为Iy1、Iz1、Iy1z1。

图A.13

从图A.13中任取微面积d A，其在新旧两个坐标系中的坐标（y1，z1）和（y，z）之间有如下变换关系：

y1＝y cosα＋z sinα

z1＝z cosα－y sinα

于是　

将积分记号内各项展开，得

Iy1＝Iy cos2α＋Iz sin2α－Iyz sin2α

Iz1＝Iz cos2α＋Iy sin2α＋Iyzsin2α

Iy1z1＝Iyz cos2α＋Iy sinαcosα－Iz sinαcosα－Iyz sin2α

将，代入，得

式（A.12）即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。显然，惯性矩和惯性积都是α角的函数，反映了惯性矩和惯性积随α角变化的规律。

若将式（A.12）中的前两式相加，可得

Iy1＋Iz1＝Iy＋Iz

这说明平面图形对于通过同一点的任意一对相互垂直轴的两惯性矩之和为一常数。

A.4.2　主轴、形心主轴和主矩、形心主惯性矩

由式（A.12）反映了平面图形面对某一坐标系两轴的惯性矩和惯性积随着α的变化而发生周期性的变化规律。若将式（A.12）对α求导数，于是有：(www.xing528.com)

即　

由此得出　

或

可以得出相差90°的两个角度α0和α0＋90°，从而可确定出相互垂直的一对坐标轴y0轴和z0轴。平面图形对这对轴的惯性矩一个取得最大值Imax，另一个取得最小值Imin，将α0和α0＋90°分别代入式（A.12）中的第一式，经简化得惯性矩极值的计算公式为

由式（A.14）可知，Iy0即为极大值Imax，Iz0为极小值Imin。

将α0和α0＋90°代入式（A.12）中的第三式，可得惯性矩Iy0z0＝0。图形对于某一对坐标轴y0和z0取得极值的同时，图形对该坐标轴的惯性积为零。通常把惯性积为零的这对轴定义为主惯性轴，简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值，具体计算公式为式（A.14）。

需要指出的是对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，如果主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴，而相应的惯性矩称为形心主惯性矩。工程中有意义的是形心主轴与形心主矩。

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以图形的对称轴就是形心主惯性轴。

综上所述，形心主惯性轴是通过形心且由α0角定向的一对互相垂直的坐标轴，而形心主惯性矩则是图形对通过形心的所有坐标轴的惯性矩的极值。

图A.14

对于一般没有对称轴的截面，为了确定形心主轴的位置和计算形心主惯性矩的数值，就必须先确定截面形心，并且计算出截面对某一对互相垂直的形心轴的惯性矩和惯性积，然后应用式（A.13）和式（A.14）来进行计算。

【例A.8】 求图A.14所示图形的形心主惯性轴的方位和形心主惯性矩。

解：（1）确定形心位置。

图A.14示平面图形的对称中心C为该图形的形心。以形心C作为坐标原点，平行于图形棱边的y、z轴作为参考坐标系，把图形看作是3个矩形Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的组合图形。矩形Ⅰ的形心C1与C重合。矩形Ⅱ的形心C2的坐标为（－35，55）。矩形Ⅲ的形心坐标为（35，－55）。

（2）计算图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。

（3）确定形心主惯性轴的位置。

解得：2α0＝54.9°或234.9°，则α0＝27.4°或117.4°。由于α0为正值，故将y轴绕点逆时针旋转27.4°，即得到形心主惯性轴y0和z0的位置。

（4）求形心主惯性矩。由式（A.14），可得