平面图形的惯性矩和极惯性矩

A.2.1　惯性矩

任意面积为A的平面图形如图A.4所示。在坐标系yOz中的（y，z）处取微面积dA，遍及整个图形面积A的以下积分：

图A.4

则分别定义为平面图形对z轴和y轴的惯性矩，也称平面图形对z轴和y轴的为二次矩。

由定义可知，图形的惯性矩也是对某一坐标轴而言的。同一平面图形对于不同坐标轴的惯性矩是不同的。由于y2和z2总是正的，所以Iz和Iy永远是正值。惯性矩的量纲是长度的四次方，常用单位为m4或mm4。

另外，惯性矩的大小不仅与图形面积有关，而且与图形面积相对于坐标轴的分布有关。面积离坐标轴越远，惯性矩越大；反之，面积离坐标轴越近，惯性矩越小。

在工程中，为了便于计算，常将惯性矩Iz和Iy表示为平面图形面积A与某一长度平方的乘积，即：

Iz＝A，Iy＝A

或者写成

通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径（或回转半径）。惯性半径为正值，它的大小反映了图形面积对于坐标轴的聚焦程度。惯性半径的量纲是[长度]，常用单位为m或mm。在偏心压缩、压杆稳定的计算时会涉及到与此有关的一些问题。

A.2.2　惯性积

在图A.4中，把遍及整个图形面积A的以下积分

定义为平面图形对y、z轴的惯性积。

惯性积也是对一定的轴而言的，同一截面对于不同坐标轴的惯性积是不同的。惯性积的数值可以为正，可以为负，也可以等于零。惯性积的量纲是长度的四次方，常用单位为m4或mm4。

图A.5

另外，若平面图形在所取的坐标系中，有一个轴是图形的对称轴，则平面图形对于这对轴的惯性积必然为零。以图A.5为例。图中z轴是图形的对称轴，如果在z轴左右两侧的对称位置处，各取一微面积d A，两者的z坐标相同，而y坐标数值相等但符号相反。这时，两微面积对于y、z轴的惯性积数值相等，符号相反，在积分中相互抵消，将此推广到整个截面，则有

A.2.3　极惯性矩

在图A.4中，设微面积到坐标原点O的距离为ρ，定义ρ2dA为该微面积dA对O点的极惯性矩，遍及整个图形面积A的积分

称为平面图形对坐标原点O的极惯性矩或二次极矩。

由以上定义可知，极惯性矩是对一定的点而言的，同一平面图形对于不同的点一般有不同的极惯性矩。极惯性矩恒为正值，它的量纲为长度的四次方，常用单位为m4或mm4。

由图A.4可见，微面积d A到坐标原点O的距离ρ和它到两个坐标轴的距离y、z有如下关系

ρ2＝z2＋y2

则

图A.6

式（A.9）说明，平面图形对于原点O的极惯性矩等于它对两个直角坐标轴的惯性矩之和。(www.xing528.com)

【例A.3】 试计算图A.6所示，高为h，宽为b的矩形截面对于其对称轴y和z的惯性矩及对y、z两轴的惯性积。

解：（1）先求对y轴的惯性矩。取平行于y轴的狭长微面积d A，则

d A＝b d z

（2）用相同的方法可以求得

（3）因为y、z轴是对称轴，所以Iyz＝0。

【例A.4】 试计算图A.7所示圆形对其圆心的极惯性矩和对其形心轴的惯性矩。

图A.7

解：（1）在距圆心O为ρ处取宽度为dρ的圆环形微面积dA，则：

dA＝2πρdρ

图形对其圆心的极惯性矩为

（2）由圆的对称性可知：Iz＝Iy，根据式（A.9）可得　

另外，因为y、z轴是对称轴，所以Iyz＝0。

A.2.4　组合图形的惯性矩和惯性积

组合图形是由若干个简单图形组合而成。根据惯性矩和惯性积的定义，组合图形对某个坐标轴的惯性矩等于各简单图形对于同一坐标轴的惯性矩之和；组合图形对于某对垂直坐标轴的惯性积，等于各简单图形对于该对坐标轴惯性积之和，即

图A.8

例如可以把图A.8所示的空心圆，看作是由直径为D的实心圆减去直径为d的圆，由公式（A.10），并使用例A.4所得结果，即可求得：

【例A.5】试求图A.9（a）所示工字形截面对其形心轴y、z轴的惯性矩。

图A.9

解：（1）求截面对y轴的惯性矩。对于图示工字形截面，可看成是由图A.9（b）中面积为BH的大矩形，减去两个面积为的小矩形（图中画有阴影部分）而得到的，故工字形截面对y轴的惯性矩应是大矩形对y轴的惯性矩与小矩形对y轴的惯性矩之差，即

（2）求截面对z轴的惯性矩。图示工字形截面，也可看成是由图A.9（c）所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个矩形组成。

矩形Ⅰ，Ⅲ对z轴的惯性矩均为

矩形Ⅱ对z轴的惯性矩为

工字形截面对z轴的惯性矩等于此三个矩形对z轴的惯性矩之和，即