设长度为l的两端铰支细长杆，受压力F达到临界值Fcr时，压杆由直线平衡形态转变为曲线平衡形态。临界压力是使压杆开始丧失稳定，保持微弯平衡的最小压力。选取坐标系如图7.3（b）所示，设距原点为x的任意截面的挠度为v，则弯矩为
M（x）＝－Fcr v
图7.3
当杆内应力不超过材料的比例极限时，根据挠曲线近似微分方程，即
得到
令
得微分方程
这是个常系数线性二阶微分方程，其通解为
式中：A和B为积分常数，由压杆的边界条件来确定。
当x＝0时，v＝0，则可确定B＝0，于是式（7.4）改写为
又当x＝l时，v＝0，则有
A sin kl＝0
其有两种解(www.xing528.com)
A＝0或sin kl＝0
若A＝0，则由式（7.5）知v≡0，表示压杆未发生弯曲，这与压杆产生微弯曲的前提相矛盾，因此其解应为
sin kl＝0
若满足此条件，则要求
kl＝nπ （n＝0，1，2，…）
将式（7.2）代入上式，可得
上式表明，压杆处于微弯平衡状态时，在理论上临界力Fcr是多值的。由于临界力应是压杆在微弯形态下保持平衡的最小轴向压力，所以在上式中取Fcr的最小值。但若取n＝0，则临界力Fcr＝0，表明杆上并无压力，这不符合所讨论的情况。因此取n＝1，这样便得到两端球铰支压杆的临界力为
式（7.6）是由著名数学家欧拉于1744年首先提出的两端铰支细长压杆临界力计算公式，称为欧拉公式。此式表明压杆的临界力与压杆的抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比，说明杆越细长，其临界力越小，压杆越容易失稳。需要说明的是，由于压杆两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角皆没有限制，因而杆件的微弯变形一定发生在抗弯能力最小的纵向平面内，所以式（7.6）中的I应该是横截面的最小惯性矩。
在上述临界力Fcr作用下，将
代 入式（7.5）得到压杆的挠曲线方程
当
时（即杆中点），v＝vmax＝A。表明两端球铰支压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线，最大挠度取决于压杆的微弯程度。
【例7.1】 有一支承混凝土模板的圆截面木支柱。已知柱长l＝4m，其横截面的平均直径d＝120mm，木材的E＝10GPa。若材料处于弹性阶段，试求此受压木柱的临界力。
解：（1）计算柱截面的惯性矩：
（2）由于模板的支柱是可随时装拆的临时构件，其两端可看做是铰支，l＝4m。
计算支柱的临界力：
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