截面核心及其应用：矩形截面示例

在6.4.1节中曾经指出，杆件受偏心拉（压）力F作用时，截面上既有拉应力又有压应力，这两种应力区的分界线即为中性轴，而中性轴的位置与偏心力作用点离形心的距离（坐标yF和zF）有关。力作用点离形心愈近，中性轴离形心愈远[式（6.11）]，甚至在截面的外边，此时，截面上只产生一种符号的应力，若在拉力作用下，全部是拉应力，在压力作用下，全部是压应力。

另一方面，在工程中，有不少材料抗拉性能差但抗压性能好且价格比较便宜，如砖、石、混凝土、铸铁等。因此，适于制作长期承受压力的杆件。但由于这类材料抗拉性能差，所以在使用时要求在整个截面上不产生拉应力，这就须限制压力作用点的位置，使得相应的中性轴不要通过截面，而是在截面外边，至多与截面的外边界点相切。这里，外边界点是指过该点的切线不通过截面。如图6.20中的①、②、③、…为与截面的外边界相切的中性轴。截面内1、2、3、…点为相应于中性轴①、②、③、…的压力作用点的位置。

图6.20

由图6.20可见，以截面上外边界点的切线作为中性轴，绕截面边界转一圈时，截面内相应的有无数个力作用点，这无数个点连成的轨迹为一条包围形心的封闭曲线，当压力作用点位于这条曲线上时，相应的中性轴与截面的外边界点相切，当压力作用点位于曲线以内时（图6.20上画阴影线部分），中性轴移到截面外面。也就是说，截面上只产生压应力。这个阴影区称为截面核心。所以，截面核心是指包含截面形心在内的一个区域，当压力作用在该区域内时，截面上只产生压应力。

当偏心力作用在截面核心的边界上时，对应的中性轴正好与截面的周边相切，利用这一关系来确定截面核心。下面举例说明截面核心的具体作法。

【例6.4】 图6.21所示为一矩形截面，已知两边长度分别为b和h，作截面核心。

图6.21

解：根据截面核心的概念，我们可以作一系列的截面外边界点的切线作为中性轴，然后求与这些中性轴相应的压力作用点。例如，先作与矩形四边重合的4条中性轴①、②、③和④，利用式（6.33）可得

其中

式中：az和ay为中性轴的截距，zF和yF为相应的压力作用点的坐标。对中性轴①，有，az＝∞，代入式（6.33），得(www.xing528.com)

即相应的压力作用点为图6.21上的点1。对中性轴②，有ay＝∞，代入式（6.33），得

即相应的压力作用点为图6.21上的点2。同理，可得相应于中性轴③和④的压力作用点的位置如图6.21上的点3和点4。

至于由点1到点2，压力作用点的移动规律如何，我们可以从中性轴①开始，绕截面角点A作一系列中性轴（图6.21中虚线），一直转到中性轴②，求出这些中性轴所对应的压力作用点的位置，就可得到压力作用点从点1到点2的移动轨迹。根据方程式（6.32），设zF和yF为常数，z0和y0为流动坐标，中性轴的轨迹是一条直线。反之，若z0和y0为常数，zF和yF为流动坐标，则力作用点的轨迹也是一条直线。现在，过角点A的所有中性轴有一个公共点F，它的坐标为常数，相当于方程式（6.32）中的z0和y0。而需求的压力作用点的轨迹，则相当于流动坐标zF和yF。于是可知，截面上从点1到点2的轨迹是一条直线。同理可知，当中性轴由②绕角点B到③，由③绕角点C转到④时，压力作用点由点2到点3，由点3到点4的轨迹，都是直线。最后得到一个菱形（图6.21中的阴影区）。即矩形截面的截面核心为一菱形，其对角线的长度为截面边长的1/3。所以当矩形截面杆承受偏心压力时，欲使截面上只产生压应力，则压力作用点必在上述菱形范围内。

图6.22

【例6.5】 图6.22所示为一圆形截面，直径为d，试作截面核心。

解：在截面周边上任取一点1，过该点作切线①作为中性轴，然后求相应于此中性轴的压力作用点的位置。利用式（6.33）可得

式中：，，az＝∞，将上述数据代入式（6.33），得

即相应于中性轴①的压力作用点的坐标为，即与①线的切点在同一直径上，位于圆心两侧，如图上点1′。由于圆周对称于圆心，所以压力作用点的轨迹亦为一个圆，其直径为，如图6.22上的阴影区所示。