斜弯曲正应力的计算及分布规律

将F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得

这两个分量分别引起沿铅直面和水平面的平面弯曲。设要求距自由端任意距离x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。

先求出x截面的弯矩Mz和My，即

式中：M＝－Fx是F对x截面的弯矩。这里弯矩Mz和My的正负号这样规定：使截面上位于第一象限的各点引起拉应力者为正，引起压应力者为负，图6.4所示的Mz和My均为负值。

由式（b）可知，弯矩Mz和My也可以由总弯矩M沿两坐标轴按矢量分解而得。

由于已把x截面上的弯矩分解为两个引起平面弯曲的弯矩，所以任一点K的正应力可以应用平面弯曲的应力公式进行计算，设Mz引起的应力为σ（y），My引起的应力为σ（z），则有

应力的正负号也可以通过观察梁的变形来确定：如图6.4所示的情况，根据Mz和My所引起的梁的变形情况可知，K点的正应力均是压应力，所以可写成

即M和y、z均取绝对值，而在应力表达式前冠以“＋”、“－”号。

把式（6.3）的两式代数相加，就得到K点的应力为

这就是计算斜弯曲正应力的公式。

在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是以弯矩引起的最大正应力来控制。所以如对图6.4所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形等，根据其变形的判断，可知正的最大正应力σmax发生在D1点，负的最大正应力σmin发生在D2点，且，，，于是根据式（6.5），有

若材料抗拉与抗压的许用应力相同，其强度条件就可写为

式中

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对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈弧线的截面，如图6.5所示，则需研究应力的分布规律。为此，将式（6.3）的两式相加，得到斜弯曲正应力的另一表达式为

图6.5

图6.6

式（6.9）表明，发生斜弯曲时，截面上正应力是y和z的线性函数，所以它的分布规律是一个平面，如图6.6所示。此应力平面与y、z坐标平面（即x截面）相交于一直线，在此直线上应力均等于零。所以该直线即为中性轴。

现在来确定中性轴的位置，设中性轴上各点的坐标为y0、z0，由于中性轴上应力等于零，所以把y0和z0代入σ的表达式（6.9），并令其等于零。

由于M不等于零，则得中性轴的方程为

图6.7

这是一条通过形心的直线。设它与z轴的夹角为α（图6.7），则有

式（6.12）表明：①当力F通过第一、第三象限时，中性轴通过第二、第四象限；②中性轴与力F作用线并不垂直，这也是斜弯曲的特点。除非Iz＝Iy，即截面的两个形心主惯性矩相等，例如截面为正多边形的情形，中性轴才与力F作用线垂直，而此时不论力F的φ角等于多少，梁所发生的总是平面弯曲，工程上常用的正方形或圆形截面梁就是这种情况。

中性轴把截面划分为拉应力和压应力两个区域，当中性轴的位置确定后，就很容易确定应力最大的点，这只要在截面的周边上作两条与中性轴平行的切线，如图6.8所示，切点E1和E2即为距中性轴最远的点，其上应力的绝对值最大，其中一个是最大拉应力σmax，一个是最大压应力σmin（按代数值）。

把这两点的y、z坐标分别代入式（6.9），即可进行强度计算。

图6.8