平面应力状态下最大切应力的确定方法

由式（5.2）可确定最大切应力的大小及所在的位置。

1.解析法

令，则可求得切应力极值所在平面的方位角α1的计算公式为

该截面上的切应力（极值）为

如果已知主应力，则切应力极值的另一形式计算公式为

比较式（5.4）和式（5.6）得

即α1＝α0＋45°，说明切应力的极值平面和主平面成45°角。

2.图解法

应力圆上最高点E1及最低点E2显然是τmax、τmin对应的位置[图5.11（b）]，因此两点的纵标分别等于τmax、τmin的值；其方位角由D1E1弧和D1E2弧所对的圆心角之半（或该弧所对的圆周角）量得。

由应力圆还可以看出，主平面与最大切应力平面的夹角等于45°。

【例5.5】 试用图解法确定[例5.3]单元体上最大切应力平面位置及其上的应力，并用解析法验证所求的值。

解：由已知条件画出应力圆（图5.14），过圆心C作σ轴的垂线，与圆周交于E1、E2，量得τE1＝τmax＝45MPa，τE2＝τmin＝－45MPa，σE1＝σE2＝10MPa

∠D1CE1≈63°

即τmax所在平面方位是α≈－31°30＇（由x轴顺时针量取）。

用解析法验证：(www.xing528.com)

通过以上计算结果说明用应力圆所求的值均正确。

【例5.6】 如图5.15（a）所示一矩形截面简支梁，矩形尺寸：b＝80mm，h＝160mm，跨中作用集中荷载F＝20k N。试计算距离左端支座x＝0.3m的D处截面中性层以上y＝20mm某点K的主应力、最大切应力及其方位。

图5.15

解：（1）计算D处的剪力及弯矩。

FQD＝RA＝10k N MD＝RA×0.3＝3（k N·m）

（2）计算D处截面中性层以上20mm处K点正应力及切应力。

（3）计算主应力及其方位。取K点单元体如图5.15（b）所示，σx＝σK＝－2.2 MPa，因梁的纵向纤维之间互不挤压，故σy＝0；τx＝τD＝1.1MPa。

主方向　

α0＝22°30＇

因σx＜σy，所以α0是σ3所在截面的方位。标到单元体上，如图5.15（b）所示。

4.计算最大切应力及其方位

α1＝－22°30＇

标到单元体上，如图4.15（c）所示。（建议读者用图解法进行验证以上各计算结果）。