梁的正应力及强度计算方法分析

1.纯弯曲时梁的正应力

如图3.43（a）所示的简支梁上，受两个外力FP对称地作用在梁的纵向对称平面内。梁的剪力图和弯矩图分别如图3.43（b）、（c）所示。由图可知，在AC和DB段梁各横截面上剪力FQ和弯矩M同时存在，这种情况的弯曲称为横力弯曲；在CD段梁各横截面上只有弯矩没有剪力，这种情况的弯曲称为纯弯曲。因此，纯弯曲的梁段，其横截面上只有正应力，而无切应力。纯弯曲是弯曲理论中最简单最基本的情况。

研究纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式，与推导圆轴扭转时的切应力计算公式相仿，需要综合考虑几何、物理和静力三个方面。

（1）几何方面。为了找横截面上正应力的变化规律，现研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的线应变，亦即纵向线应变，从而找出纵向线应变在该截面上的变化规律。为此，在梁加载以前，先在其侧面上画出两条相邻的横向线mm和nn，并在两横向线靠近顶面和底面处分别画纵线aa和bb[图3.44（a）]。然后在梁的两端加一对位于纵向对称面内的外力偶Me，使梁发生纯弯曲[图3.44（b）]。这时可以观察到下列现象：

1）变形前相互平行的纵向直线aa和bb，变形后变为了弧线。

图3.44

2）变形前的横向线mm和nn，变形后仍为直线且与纵向弧线保持正交，只是相对旋转了一个角度。

根据上述实验结果，可以假设，变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的平面假设。同时，设想梁由无数条纵向纤维所组成。在纯弯曲时，各纵向纤维之间无挤压作用，这个假设称为单向受力假设。又由于梁弯曲时[图3.44（b）]，梁下部纵向纤维伸长，上部纵线纤维缩短。由于变形的连续性，纵向纤维自上至下由缩短到伸长的连续变形中，其中必定有一层纤维的长度不变，这一层称为中性层；中性层与横截面的交线称为中性轴[图3.44（c）]。纯弯曲时，梁横截面就是绕中性轴做微小的转动。

现从纯弯曲梁段内截取长为d x的微段，由平面假设可知，梁弯曲变形时微段d x的左、右横截面仍为平面，只是相对转过一个角度dθ，纵向线O1O2位于中性层上，无长度改变，如图3.44（d）所示。由于外力、横截面形状及梁的材料均对称于梁的纵向对称面，故梁变形后的形状也必对称于该平面，因此，中性轴应与横截面的对称轴垂直。若将梁的轴线取为x轴，横截面的对称轴取为y轴，则中性轴可取为z轴（其位置尚待确定），如图3.44（e）所示。现研究在横截面上距中性轴为y处的纵向线应变。

如图3.44（d）所示，设距中性层y处AB1的原长为d x，d x＝ρdθ，变形后曲线AB长为

AB＝（ρ＋y）dθ

上式中，ρ为中性层的曲率半径。则该点处的线应变ε为

整理后得

式（3.45）表明，横截面上任一点的纵向线应变ε与该点到中性层的距离y成正比。式中的ρ对于同一横截面来说是个常量。

（2）物理方面。由上述单向受力假设可知，纵向纤维处于单向受拉或受压状态。当材料处于线弹性范围内，则根据单向受力状态的胡克定律可得物理关系

σ＝Eε

将式（3.45）代入上式，得

由式（3.46）可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即横截面上的正应力沿截面高度按线性规律分布，如图3.44（f）所示。在中性轴上各点处的正应力为零，距中性轴最远的上下边缘处正应力为最大或最小。

（3）静力学方面。由于式（3.46）中的和中性轴位置均未确定，为此，需要考虑静力学方面。

在横截面上取微面积d A，其上微内力σd A组成了垂直于横截面的空间平行力系，如图3.44（e）所示。该力系向O点简化，得到三个内力分量，即平行于x轴的轴力FN，对y轴和z轴的力偶矩My和Mz，它们分别为

在纯弯曲时，横截面上只有位于纵向对称面内的弯矩Mz，即对z轴的力偶矩，而轴力FN和对y轴力偶矩My均为零，因此，由静力学平衡条件可得

将式（3.46）代入式（3.47），得

式中：＝常量，不能为零，故只有。由截面性质可知，静矩，则z轴，即中性轴必通过截面形心。于是，就确定了中性轴的位置。

将式（3.46）代入式（3.48），得

式中：为横截面对z、y轴的惯性积Izy，由于y轴是横截面的对称轴，根据截面几何性质可知，Izy＝0。故上式自然成立。

将式（3.46）代入式（3.49），得

式中：为横截面对z轴的惯性矩Iz，即

于是式（3.52）可以写成

式中是梁轴线变形后的曲率。式（3.53）表明，纯弯曲时其轴线曲率与弯矩M成正比，与EIz成反比；EIz越大，则曲率越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式（3.53）和式（3.46）中消去，得

式中：M为横截面上的弯矩；Iz为横截面对中性轴z的惯性矩；y为所求应力点的纵坐标。

这就是纯弯曲时梁的正应力计算公式。

在应用式（3.54）时，弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得的正应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。在具体的计算中，通常M和y均以绝对值代入，所求点的应力是拉应力还是压应力，也可由弯曲变形直接判定，即以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。

2.横力弯曲时梁的正应力

工程上最常见的弯曲是横力弯曲。在这种情况下，梁的横截面上不仅有正应力，而且有切应力。由于切应力的存在，梁的横截面不能再保持为平面，将发生翘曲。此外，在与中性层平行的纵截面上，还有由横向力引起的挤压应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不能成立。但是，精确理论分析表明，当跨度与高度之比l/h（简称跨高比）大于5时，正应力计算公式（3.54）可以推广应用于横力弯曲，其计算结果略低于精确解。随着跨高比l/h的增大，其误差就越小。

在横力弯曲时，梁的弯矩随着横截面位置的变化而改变。一般情况下，最大正应力σmax发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远的边缘处。于是由式（3.54）得

引入记号　

则式（3.55）可改写为

式中：Wz称为弯曲截面系数，它与截面的尺寸和几何形状有关，常用单位为mm3或m3。

图3.45

对于高为h，宽为b的矩形截面[图3.45（a）]，则

对于直径为d的圆截面[图3.45（b）]，则

对于各种轧制型钢，其弯曲截面系数Wz值可以从型钢表中查得。

【例3.9】 矩形截面悬臂梁的截面尺寸如图3.46所示。已知梁的长度l＝2m，集中荷载FP＝1k N，均布荷载q＝0.6k N/m。试计算该梁1—1截面上A、B、C三点的弯曲正应力。

图3.46

解：（1）首先求出1—1截面的弯矩

（2）计算截面的惯性矩Iz

（3）计算各点的正应力

A点：yA＝－（75－20）＝－55mm

B点：yB＝75－40＝35mm

C 点：yC＝75mm

【例3.10】 图3.47（a）所示简支梁由56a号工字钢制成，已知F＝150k N。试求危险截面上的最大正应力σmax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力σa。

图3.47

解：首先作简支梁的弯矩图[图3.47（c）]。可见，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为

Mmax＝375k N·m

利用型钢规格表查的，56a号工字钢截面的Wz＝2342cm3和Iz＝65586cm4。

由此可得危险截面上的最大正应力σmax为

危险截面上点a处的正应力σa为

因为梁横截面上的正应力沿截面高度是按直线规律变化的，所以，当已经求得横截面上的σmax时，同一截面上的正应力σa亦可按比例求得

在上面的计算中未考虑钢梁的自重，因为由自重引起的正应力与由外荷载引起的正应力相比极小。在一般情况下，钢梁的自重可以忽略不计。(www.xing528.com)

【例3.11】 图3.48（a）所示矩形截面简支木梁，已知q＝2k N/m，l＝4m，b＝100mm，h＝200mm。试计算木梁竖放[图3.48（b）]和平放[图3.48（c）]时的最大正应力，并加以比较。

图3.48

解：竖放和平放两种情况的最大弯矩Mmax都发生在梁的中点，其值为

（1）梁竖放时

（2）梁平放时

（3）竖放和平放的比较

同一根梁，竖放时的最大正应力只占平放时的一半。在计算中可以看出，梁的最大正应力与截面的弯曲系数Wz有关，

矩形截面梁竖放时的弯曲截面系数Wz要比平放时大h/b倍。因此，竖放比平放具有较高的抗弯能力，更加经济、合理，一般总是将梁的截面竖放。

3.梁的正应力强度条件

对于等直梁而言，其最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上距中性轴最远的各点处，而该点处的切应力等于零或与该点的正应力相比很小。此外，纵截面上由横向力引起的挤压应力可忽略不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，看作单向应力状态。这样，仿照轴向拉（压）时的强度条件来建立梁的正应力强度条件，即梁的横截面上的最大正应力σmax，不得超过材料的许用弯曲正应力[σ]。因此，梁弯曲时正应力强度条件可表示为

图3.49

对于抗拉和抗压强度相同的材料，如低碳钢，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力[σ]即可。对抗拉和抗压强度不等的材料，如铸铁，则分别要求最大拉应力和最大压应力不超过材料的许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]。

利用强度条件进行上述各项计算时，为了确保既安全可靠又节约材料的原则，某些设计规范还规定，梁内的工作应力σmax允许略大于[σ]，但不得超过[σ]的5%。

【例3.12】 一伸臂梁受力如图3.49（a）所示，该梁选用22a工字钢，钢材的许用应力[σ]＝160MPa，试按正应力强度条件校核该梁的强度。

解：首先确定梁内的最大弯矩Mmax，为此绘制出梁的弯矩图如图3.49（b）所示。可以看出，梁内最大弯矩位于B截面上，其值为

Mmax＝48k N·m

利用型钢表查得，22a号工字钢截面的Wz＝309cm3。

由此可得危险截面（B截面）上的最大正应力σmax为

故满足强度要求。

【例3.13】 悬臂钢梁受均布荷载作用，如图3.50（a）所示。已知材料的许用应力[σ]＝170MPa，试按正应力强度条件选择下述截面尺寸，并比较材料用量：①圆截面；②高度比的矩形截面；③工字形截面。

图3.50

解：首先作悬臂梁的弯矩图[图3.50（b）]。可见，梁的固定端处截面弯矩为最大，其值为

由正应力强度条件

可得

根据Wz的取值范围，即可确定各截面尺寸。

（1）圆截面。设圆截面的直径为d，则，代入式（a），得

其最小面积为：

（2）矩形截面。由于，且，则。代入式（a），得

其最小面积为

A2＝bh＝2b2＝2×（70.6mm）2＝9970mm2

（3）工字形截面。根据式（a）中Wz值，查型钢表，可选用20a工字钢，其Wz＝237cm3。其面积由表中查得

A3＝35.5cm2＝3550mm2

现在来比较三种截面材料用量，由于该等直梁的长度及荷载一定，因此材料用量之比就等于三者重量之比，也等于横截面面积之比，即

A1∶A2∶A3＝1∶0.709∶0.252

由此可见，在满足梁的正应力强度条件下，工字形截面最省料，矩形截面次之，圆截面耗费材料最多。

图3.51

【例3.14】 跨长l＝2m的铸铁梁受力如图3.51（a）所示。已知材料的许用拉应力[σt]＝30MPa，许用压应力[σc]＝90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T形截面腹板厚度δ，并校核梁的强度。

解：要使这一截面最合理，必须使梁的同一横截面上的最大拉应力与最大压应力[图3.51（c）]之比σt，max/σc，max与相应的许用应力之比[σt]/[σc]相等。因为这样就可使材料的拉、压强度都得到充分利用，且使危险截面上的σt，max和σc，max同时满足抗拉和抗压的强度条件。

根据式（3.54），可得

又知，所以

由图3.51（b）可知

由式（a）、式（b）解得

y1＝70mm， y2＝210mm

由y1、y2值就确定了中性轴z的位置如图3.51（b）所示。由于中性轴是截面的形心轴，故此截面对z轴的静矩应等于零，即

由上式求得

δ＝24mm

确定δ后再校核梁的强度，为此，用平行移轴公式计算梁截面对中性轴z的惯性矩Iz为

梁的最大弯矩位于跨中截面处，其值为

校核该截面上的最大拉（压）应力，即

故梁满足强度要求。对于该梁的最大压应力是否还需要校核，建议读者自行考虑。

【例3.15】 一槽形截面铸铁梁如图3.52（a）所示。已知b＝2m，Iz＝5493×104 mm4，铸铁的许用拉应力[σt]＝30MPa，许用压应力[σc]＝90MPa。试求梁的许可荷载[F]。

图3.52

解：作梁的弯矩图如图3.52（c）所示，最大负弯矩在截面B上，最大正弯矩在截面C上，其值分别为

因而B截面上边缘受拉，下边缘受压；而C截面则相反。B、C截面的正应力分布规律如图3.52（d）所示。

设下边缘和上边缘各点到中性轴的距离分别为y1和y2，由横截面的尺寸可见，

y1＝134mm， y2＝86mm

由于MB的绝对值大于MC，且y1大于y2，则最大压应力必定发生在B截面的下边缘；又因MB y2大于MC y1，最大拉应力发生在B截面的上边缘。根据正应力强度条件可分别求出荷载F值：

取其中较小者，即得该梁的许可荷载为[F]＝19.2k N。

另外，由于y1/y2及y2/y1均大于[σt]/[σc]，这表明不论是对截面C还是对截面B而言，该梁的强度均由最大拉应力控制。因此，该题也可以分别算出截面C和截面B上的最大拉应力，并与材料相应的许用应力相比较，从而求出荷载F值。