非圆截面杆扭转应力分析

前面讨论了圆形截面杆的扭转，但实际工程中有时会遇到非圆截面直杆的扭转问题。如建筑工程中的雨棚梁的扭转就是一个矩形截面杆的扭转问题。

图3.40

取一横截面为矩形的杆在其侧面上画上纵向线和横向周界线[图3.40（a）]，扭转变形后发现横向周界线已变为空间曲线[图3.40（b）]。这表明变形后杆的横截面已不再保持为平面，这种现象称为翘曲。所以，平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。

非圆截面杆件的扭转可分为自由扭转和约束扭转。等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的情况，属于自由扭转。这种情况下杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，故横截面上没有正应力而只有切应力。图3.41（a）即表示工字钢的自由扭转。若由于约束条件或受力条件的限制造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除切应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。图3.41（b）即为工字钢约束扭转。像工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的。但一些实体杆件如截面为矩形或椭圆形的杆件，因约束扭转而引起的正应力很小，与自由扭转并无太大差别。

图3.41

非圆截面杆的自由扭转，一般在弹性力学中讨论。这里我们不加推导地引用弹性力学的一些结果并只限于矩形截面杆扭转的情况。这时，横截面上的切应力分布如图3.42（a）所示。边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流。4个角点上切应力等于零。最大切应力发生于矩形长边的中点，且按下列公式计算：

式中：α是一个与比值h/b有关的系数，其数值已列入表3.2中。短边中点的切应力τ1是短边上的最大切应力，并按以下公式计算：

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式中：τmax是长边中点的最大切应力；系数ν与比值h/b有关，已列入表3.2中。杆件两端相对扭转角φ的计算公式是：

式中：GIt＝Gβhb3也称为杆件的抗扭刚度；β也是与比值h/b有关的系数，并已列入表3.2中。

表3.2　矩形截面杆扭转时的系数α、β、ν

图3.42

当时，截面成为狭长矩形。这时α＝β≈1/3。如以δ表示狭长矩形的短边尺寸，则式（3.40）和式（3.42）化为

在狭长矩形截面上，扭转切应力的变化规律如图3.42（b）所示。虽然最大切应力在长边的中点，但沿长边各点的切应力实际上变化不大，接近相等，在靠近短边处才迅速减小为零。