切应力互等定理与剪切胡克定律介绍

1.切应力互等定理

在受扭薄壁圆筒中，用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒中取出边长分别为d x、d y和t的单元体，如图3.27（d）所示。单元体的左、右两侧面是圆筒横截面的一部分，其上无正应力只有切应力。两侧面上的切应力由式（3.16）计算，数值相等但方向相反。于是组成一个力偶矩为（τt d y）d x的力偶。由于单元体的前、后面为自由表面，没有应力；单元体的上、下面为纵向截面的一部分，其上没有正应力。为保持平衡，单元体的上、下两个侧面上必须有切应力，并组成力偶，与力偶（τt d y）·d x相平衡。由∑Fx＝0知，上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力τ＇。于是组成了力偶矩为（τ＇t d x）d y的力偶。由平衡方程∑Mz＝0，得

（τ＇t d x）d y－（τt d y）d x＝0

则

式（3.17）表明，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。该定理是材料力学中的一个重要定理。它具有普遍意义，在同时有正应力的情况下同样成立。

图3.28

2.剪切胡克定律

在上述单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，单元体的这种受力状态称为纯剪切应力状态。在纯剪切应力状态下，单元体的两对侧面将发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ，如图3.27（e）所示。从图3.27（b）可以看出，γ就是表面纵向线变形后的倾角。若φ为圆筒两端的相对扭转角，l为圆筒的长度，则切应变γ应为(www.xing528.com)

图3.29

由薄壁圆筒的扭转实验表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，扭转角φ与外力偶矩Me（在数值上等于扭矩T）成正比，如图3.29（a）所示。再由式（3.16）和式（3.18）两式看出切应力τ与T成正比，而切应变γ又与φ成正比。所以上述试验结果表明：当切应力τ不超过材料的剪切比例极限τP时，切应变γ与切应力τ成正比[图3.29（b）]。这就是剪切胡克定律，可以写成

式中比例系数G称为材料的切变模量，其量纲与弹性模量E相同，单位为Pa。钢材的切变模量G约为80GPa。

至此，我们已经引入三个弹性常数，即弹性模量E、泊松比μ、切变模量G。对于各向同性材料，可以证明三个弹性常数之间存在下列关系：

由式（3.20）可知，对于各向同性材料，在三个弹性常量中，只要用试验求得其中两个值，则另一个即可确定。